Goniometrische functies

In dit artikel houd ik me bezig met de goniometrische functies, die soms ook trigonometrische functies worden genoemd. Het woord goniometrie komt uit het Grieks en betekent hoeken meten, trigon wordt vertaald als driehoek. We kennen vier goniometrische basisfuncties — sinus, cosinus, tangens en cotangens.

Basisbegrippen over de driehoek

Goniometrische functies werken met hoeken in een driehoek, daarom herhalen we in dit deel de begrippen die met de driehoek samenhangen.

In de afbeelding zie je een driehoek die wordt gevormd door de hoekpunten A, B en C; het is dus de driehoek ABC. We vinden hier drie zijden: AB, BC, AC. Merk verder op dat deze zijden bovendien met kleine letters zijn benoemd. Voor deze benaming geldt een regel — tegenover hoekpunt A hebben we zijde a. Tegenover hoekpunt B ligt zijde b en tegenover hoekpunt C ligt zijde c. De overstaande zijde is dus altijd naar een hoekpunt genoemd; het is de zijde waar dat hoekpunt niet op ligt.

Elke driehoek heeft drie binnenhoeken, die we meestal aanduiden met de Griekse letters alfa α, beta β en gamma γ. De som van alle drie de binnenhoeken moet altijd 180 graden zijn. Bij hoekpunt A hebben we meestal de hoek alfa, bij B beta en bij C gamma.

Hoewel we goniometrische functies op de een of andere manier bij elke driehoek kunnen gebruiken, werken we vaak alleen met een rechthoekige driehoek. Een rechthoekige driehoek is een driehoek met één rechte hoek, dus met een grootte van 90 graden. Hij ziet er bijvoorbeeld zo uit:

Een rechthoekige driehoek heeft speciaal benoemde zijden. De langste zijde ligt tegenover de rechte hoek en heet de schuine zijde (de blauwe zijde in de afbeelding). De twee kortere zijden heten rechthoekszijden (de rode zijden). Deze driehoek is in dit artikel het belangrijkst voor ons.

Benaming van de rechthoekszijden in een driehoek

Laten we stap voor stap overgaan naar de eerste goniometrische functie, de sinus. Alle goniometrische functies laten ons het verband zien tussen een hoek in de driehoek en de verhouding van de lengtes van twee zijden. Meestal gaat het dan niet om de rechte hoek, maar om de overige twee. De invoer van een goniometrische functie is dus de grootte van een hoek. De uitvoer is de verhouding van twee zijden. De afzonderlijke functies verschillen naargelang met welke zijden ze werken.

De functie sinus werkt met de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde. Wat de aanliggende en overstaande rechthoekszijde ten opzichte van een bepaalde hoek zijn, laat de volgende afbeelding zien.

In de afbeelding werken we met de hoek beta, dus met de hoek bij hoekpunt B. De zwarte zijde is de schuine zijde, daar verandert niets aan. De rood gemarkeerde zijde c is de aanliggende rechthoekszijde, omdat ze aan de hoek beta ligt. De blauw gemarkeerde zijde b is de overstaande rechthoekszijde, omdat ze tegenover de hoek beta ligt. Belangrijk is dat deze begrippen altijd betrekking hebben op een hoek. Als we vanuit de hoek gamma naar de afbeelding kijken, krijgen we dit resultaat:

De functie sinus

De sinus van de hoek alfa is gelijk aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de schuine zijde. Wat betekent dat? Als we (bijvoorbeeld op een rekenmachine) de sinus van de hoek alfa berekenen, krijgen we de waarde van het quotiënt

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Lengte van de overstaande rechthoekszijde}}{\text{Lengte van de schuine zijde}}$$

We proberen het uit op deze driehoek en de hoek beta: Het is een mooie driehoek, de lengtes van de zijden zijn: |a| = 5, |b| = 3 en |c| = 4. De overstaande rechthoekszijde van de hoek beta is zijde b, de schuine zijde is zijde a. We berekenen het quotiënt b/a, dus 3/5, en dat is 0,6. De sinus van de hoek beta is dus gelijk aan 0,6. De hoek beta heeft een grootte van 36° 52′, als je deze hoek in de rekenmachine invoert en de sinus berekent, krijg je precies 0,6 (na een kleine afronding). Het resultaat kun je controleren in de rekenmachine voor de sinus.

Waar is dit goed voor

Het is handig als je één hoek en de lengte van één zijde kent en de overige zijden moet uitrekenen.

Als eerste schrijven we op wat we eigenlijk weten. We kennen de hoek alfa. We weten dat de sinus van deze hoek gelijk is aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde (dat is zijde a) tot de schuine zijde (zijde b). Wiskundig opgeschreven:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

De sinus van de hoek kennen we, of we kunnen hem uitrekenen, de lengte van zijde a kennen we. Het enige wat we niet kennen is de lengte van zijde b. Deze variabele proberen we dus vrij te maken. Eerst vermenigvuldigen we de vergelijking met de lengte van zijde b. We krijgen

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

en nu delen we de vergelijking nog door sin(α) en we krijgen de gewenste vorm met de lengte van zijde b aan de linkerkant:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

De lengte van zijde a kennen we, die is gelijk aan drie. De sinus van dertig graden is gelijk aan een half. We vullen in:

$$|b|=\frac{3}{0,5}=6$$

Zijde b heeft lengte zes.

De functie cosinus

De cosinus lijkt sterk op de functie sinus. De terminologie rond de functie cosinus is dezelfde als in het vorige deel, dus laten we overgaan naar de definitie:

De cosinus van de hoek alfa is gelijk aan de verhouding van de lengte van de aanliggende rechthoekszijde tot de lengte van de schuine zijde. Als we op een rekenmachine de cosinus van de hoek alfa berekenen, krijgen we dus de waarde van het quotiënt

$$\cos (\alpha )=\frac{\text{lengte van de aanliggende rechthoekszijde}}{\text{lengte van de schuine zijde}}.$$

Het verschil tussen sinus en cosinus laat de volgende afbeelding overzichtelijk zien:

Beide functies werken met de schuine zijde van de driehoek, die blijft zwart. De sinus werkt dan met de overstaande rechthoekszijde, en dat is — ten opzichte van de hoek alfa — de rode zijde BC. De cosinus werkt met de aanliggende rechthoekszijde, en dat is de blauwe zijde AB.

Laten we terugkeren naar het voorbeeld dat in het vorige hoofdstuk is beschreven. We moesten de lengte van de schuine zijde berekenen als we de lengte van zijde a kenden. Nu proberen we de lengte van zijde c te berekenen als we de hoek alfa en de lengte van de schuine zijde kennen, die we zojuist in het vorige voorbeeld hebben berekend: b = 6.

Wat weten we? De hoek alfa heeft een grootte van 30 graden, de lengte van zijde b is gelijk aan zes en de cosinus geeft ons de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde. De aanliggende rechthoekszijde is zijde c, en dat is de zijde waarvan we de lengte willen weten. We schrijven op:

$$\cos (\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

We moeten |c| vrijmaken uit de vergelijking. Dat doen we door de vergelijking met de lengte van zijde b te vermenigvuldigen, waardoor aan de rechterkant precies alleen de lengte van zijde c overblijft:

$$|b|\cdot \cos (\alpha )=|c|$$

We wisselen alleen de kanten om:

$$|c|=|b|\cdot \cos (\alpha )$$

Aan de rechterkant hebben we uitdrukkingen die we ofwel kennen ofwel kunnen uitrekenen. De cosinus van dertig graden is ongeveer 0,866 (zie de rekenmachine voor de cosinus). We vullen in de vergelijking in:

$$|c|=6\cdot \mathrm{0,866}=\mathrm{5,196}$$

Dat is de lengte van zijde c. Zoals we verderop zullen zien, is de cosinus van dertig graden een exacte waarde die gelijk is aan

$$\cos ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=\mathrm{0,866}025\dots ),$$

dus de vorige lengte kunnen we preciezer maken tot:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangens en cotangens

Er bestaan nog twee andere goniometrische functies, de tangens en de cotangens. Het belangrijkste verschil met de voorgaande goniometrische functies is dat de tangens en de cotangens alleen met de rechthoekszijden werken en niet met de schuine zijde.

De tangens van de hoek alfa is gelijk aan de verhouding van de lengte van de overstaande rechthoekszijde tot de lengte van de aanliggende rechthoekszijde. De tangens noteren we als tan.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Lengte van de overstaande rechthoekszijde}}{\text{Lengte van de aanliggende rechthoekszijde}}$$

De cotangens van de hoek alfa is gelijk aan de verhouding van de lengte van de aanliggende rechthoekszijde tot de lengte van de overstaande rechthoekszijde. De cotangens noteren we als cot.

$$\cot (\alpha )=\frac{\text{Lengte van de aanliggende rechthoekszijde}}{\text{Lengte van de overstaande rechthoekszijde}}$$

De terminologie is weer dezelfde als in de voorgaande delen en ook het verdere werken met de functies is hetzelfde. Laten we terugkeren naar het vorige voorbeeld en proberen de lengte van zijde c te berekenen alleen uit de grootte van de hoek alfa en de lengte van zijde a, die a = 3 is.

De tangens is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende rechthoekszijde, dus wiskundig opgeschreven ziet het er zo uit:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

We moeten de lengte van zijde c berekenen, dus we moeten uit deze vergelijking de uitdrukking |c| vrijmaken. We vermenigvuldigen met de uitdrukking |c| en delen door tan(α), net als in de vorige voorbeelden.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

We vullen in de rechterkant in, waar de tangens van dertig graden ongeveer gelijk is aan 0,5773 (zie de rekenmachine voor de tangens).

$$|c|=\frac{3}{\mathrm{0,577}3}=\mathrm{5,196.}$$

Voor de tangens van dertig graden bestaat een exacte waarde, er geldt dat:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

dus de vorige berekening kunnen we exact uitvoeren:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Exacte waarden

De sinus, cosinus, tangens en cotangens hebben voor enkele mooie hoeken mooie uitkomsten. Hier is een basisoverzicht:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \cos & \tan & \cot \\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Zie ook

Verwante begrippen op deze website:

• Georiënteerde hoek
• Radiaal