Kwadratische vergelijkingen

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking die één onbekende bevat die tot de tweede macht is verheven. Als de vergelijking een onbekende bevat die tot een hogere macht dan de tweede is verheven, is het geen kwadratische vergelijking meer.

Beschrijving van de kwadratische vergelijking

De standaardvorm van een kwadratische vergelijking ziet er als volgt uit:

$a x^{2} + b x + c = 0$

De waarden a, b, c zijn reële getallen en de waarde a is ongelijk aan nul. Verdere benamingen:

ax² heet de kwadratische term,
bx heet de lineaire term,
c heet de constante term.

Elke kwadratische vergelijking kunnen we in de standaardvorm brengen met equivalente bewerkingen of met andere bewerkingen. Een voorbeeld van een kwadratische vergelijking is deze vergelijking:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Een lastigere vraag is of ook dit een kwadratische vergelijking is:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

Nergens is x² te zien en aan de rechterkant staat geen nul. De rechterkant lossen we eenvoudig op: we trekken zeven af, waardoor we de vorm

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

krijgen. We hebben nog steeds geen x². We werken de haakjes uit en krijgen:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Nu hebben we x². Na het optellen krijgen we eindelijk de standaardvorm van een kwadratische vergelijking:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

En het volgende voorbeeld, is dat een kwadratische vergelijking? Kunnen we die in de standaardvorm brengen?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

Het antwoord is dat dat niet kan. Als we namelijk de hele vergelijking met de variabele x vermenigvuldigen om van de variabele in de noemer van de breuk af te komen, krijgen we:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Nu hebben we x³, en dat kan in een kwadratische vergelijking niet voorkomen.

Er bestaan speciale typen kwadratische vergelijkingen, afhankelijk van de waarde van de coëfficiënten a, b en c.

Waarden van de coëfficiënten

Voor de volgende onderdelen is het absoluut cruciaal dat je de afzonderlijke coëfficiënten a, b en c kunt bepalen. We beginnen met een eenvoudig voorbeeld. Bepaal de coëfficiënten van de vergelijking 3x² + 4x + 7 = 0. Hier is het eenvoudig: a = 3, b = 4 en c = 7.

Wat dacht je van de vergelijking 3x² − x + 2 = 0? De waarden a en c zijn duidelijk, a = 3 en c = 2, maar hoe zit het met b? Het zou een fout zijn om op te schrijven dat b = 1. Stel je voor dat voor die x een één staat, zo: 3x² − 1x + 2 = 0. Nu is misschien beter te zien dat b = −1.

Nog een interessant voorbeeld: x² − 3 = 0. Hier kan weer een probleem ontstaan met de coëfficiënt b, de andere zijn duidelijk: a = 1 en c = −3. Wat is de waarde van de coëfficiënt b? De lineaire term komt in deze vergelijking helemaal niet voor, dat is hetzelfde alsof we de vergelijking in de vorm x² + 0x − 3 = 0 hadden geschreven. Er geldt dus b = 0.

Een lastiger voorbeeld:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

In deze vergelijking zitten twee addertjes onder het gras. Er is geen constante term, dus c = 0. De kwadratische term is duidelijk, dus a = 5. Maar wat is dat vervloekte b? We kunnen de vergelijking nog wat herleiden, we brengen de variabele x uit twee uitdrukkingen buiten haakjes, zo:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

De coëfficiënt b is weer wat “voor” de variabele x staat, dus de hele haakjes zijn gelijk aan de coëfficiënt b = (3 + π). Een vergelijkbare vergelijking:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

De eerste twee coëfficiënten zijn duidelijk: a = −1 en b = 4. Wat is de constante term? Dat zijn de resterende uitdrukkingen waar geen x in staat. Er geldt dus $c = 1 - \sqrt{2}$ . Wees niet bang voor de wortel, hij bijt niet, het is een gewoon getal.

En wat zijn de waarden bij deze vergelijking? (x + 1)(x + 2) = −2x. Eerst moeten we de vergelijking in de standaardvorm brengen. We werken de haakjes uit en krijgen

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

en tot slot tellen we bij de vergelijking 2x op om aan de rechterkant nul te krijgen:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

De waarden zijn nu duidelijk: a = 1, b = 5, c = 2.

Zuiver kwadratische vergelijking

Als b = 0, is het een zuiver kwadratische vergelijking, die we op een vergelijkbare manier oplossen als een lineaire vergelijking. Deze vergelijking heeft dus de standaardvorm:

$a x^{2} + c = 0$

Omdat b = 0, valt de hele lineaire term bx uit de vergelijking weg, want 0x = 0. We lossen de vergelijking op door eerst de constante term af te trekken. We trekken dus van de vergelijking de waarde c af. Zo krijgen we:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

Vervolgens delen we de vergelijking door het getal a. We krijgen de vorm:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

En tot slot trekken we uit de hele vergelijking de wortel. Daarbij moet gelden dat de breuk aan de rechterkant niet negatief mag zijn, want uit een negatief getal kun je geen wortel trekken. We krijgen de oplossing:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Merk op dat we twee oplossingen krijgen, een positieve en een negatieve. Dat is beter te zien aan een voorbeeld. We rekenen de vergelijking uit

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Volgens de werkwijze trekken we eerst de term c af. Let op: de term c is in dit geval negatief, dus we trekken een negatief getal af, oftewel we tellen een positief getal op. Bij de hele vergelijking tellen we dus +8 op (het doel is om de acht naar de rechterkant te krijgen). We krijgen de vorm:

$2 x^{2} = 8$

Vervolgens delen we volgens de werkwijze de vergelijking door het getal a, dat is twee. Na het delen krijgen we de vorm:

$x^{2} = 4$

Nu trekken we de wortel.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

Waarom staat er ook min twee? Omdat min twee keer min twee vier is. We kunnen ook naar de grafische oplossing kijken: we zien dat de grafiek van de functie 2x² − 8 de x-as precies in de punten x₁ = −2 en x₂ = 2 snijdt.

Grafische oplossing van de vergelijking 2x^2-8=0

Los de vergelijking op

$80 x^{2} - 5 = 0.$

Bij de vergelijking tellen we vijf op:

$80 x^{2} = 5$

We delen door 80:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

We vereenvoudigen de breuk:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

We trekken de wortel:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Kwadratische vergelijking zonder constante term

Een ander specifiek geval van een kwadratische vergelijking ontstaat als de constante term c gelijk is aan nul. De vergelijking heeft de standaardvorm:

$a x^{2} + b x = 0$

Dit type vergelijking lossen we op door de onbekende buiten haakjes te brengen:

$x (a x + b) = 0.$

Hier is de oplossing al vrij duidelijk te zien. Opnieuw krijgen we twee oplossingen van de vergelijking, maar een daarvan is altijd gelijk aan nul. De hele linkerkant hebben we namelijk in de vorm van een product van twee uitdrukkingen: x en dan de haakjes (ax + b). Wanneer is dit product gelijk aan nul? Als minstens een van deze uitdrukkingen gelijk is aan nul. De linkerkant is dus in twee gevallen gelijk aan nul:

$x = 0 of a x + b = 0.$

De eerste oplossing van de vergelijking hebben we dus al, het is nul. De volgende krijgen we als we de lineaire vergelijking ax + b = 0 oplossen. Uit het artikel over lineaire vergelijkingen weten we dat deze vergelijking precies één oplossing heeft, en die is gelijk aan:

$x = - \frac{b}{a}$

We kunnen dus al de oplossing van de hele kwadratische vergelijking ax² + bx = 0 opschrijven:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Voorbeeld:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

We brengen x buiten haakjes:

$x (6 x + 3) = 0$

De eerste oplossing is x = 0. De tweede oplossing vinden we door de lineaire vergelijking 6x + 3 = 0 op te lossen:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

We schrijven de oplossing op:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

We kunnen weer naar de grafiek van de functie kijken, die de x-as precies in deze punten snijdt:

Grafiek van de functie 6x^2+3x

Andere manieren om op te lossen

Dit waren de basistechnieken voor specifieke typen kwadratische vergelijkingen. Een algemene kwadratische vergelijking los je op met de discriminant. Tot de andere typen vergelijkingen behoort de kwadratische vergelijking met een parameter.

Rekenmachine

Vul de coëfficiënten a, b en c van de algemene vergelijking ax² + bx + c = 0 in en de rekenmachine berekent de discriminant en de oplossingen. Je vindt haar ook los als rekenmachine voor kwadratische vergelijkingen.

Hoofdstukken: Kwadratische vergelijkingen, Discriminant, Kwadratische vergelijking met een parameter, Kwadratische vergelijkingen in de complexe getallen

« Vorige: Lineaire vergelijking met een parameter

Volgende: Discriminant »