Discriminant

De discriminant is een veelterm waarmee we de oplossingen van een algemene kwadratische vergelijking kunnen berekenen, of kunnen bepalen of de vergelijking oplossingen heeft en hoeveel.

De formule en de basisverbanden

Eerst herhalen we de standaardvorm van een kwadratische vergelijking:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

waarbij a, b, c reële getallen zijn. De discriminant, laten we hem D noemen, berekenen we zo:

$D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Voorbeeld: we hebben de kwadratische vergelijking 3x² + 5x − 7 = 0. Voor deze vergelijking geldt: a = 3, b = 5, c = −7. De discriminant berekenen we zo:

$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

Het resultaat is dus 109. Wat zegt dit getal ons? Als de discriminant…

positief is, heeft de vergelijking twee verschillende reële oplossingen,
nul is, heeft de vergelijking twee gelijke reële oplossingen,
negatief is, heeft de vergelijking in de reële getallen geen oplossing. Ze heeft wel oplossingen in de complexe getallen.

Hoe bereken je de oplossingen van een kwadratische vergelijking

Met de discriminant kunnen we direct de oplossingen van een kwadratische vergelijking berekenen. De formule voor het berekenen van de oplossingen luidt zo (de abc-formule):

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a},$

waarbij D de discriminant is. De hele formule met de uitgeschreven discriminant ziet er zo uit:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

We proberen met deze formule de oplossingen van de kwadratische vergelijking x² + 7x + 12 = 0 te berekenen. Eerst berekenen we de discriminant:

$D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

De discriminant is positief, dus de vergelijking heeft twee verschillende reële oplossingen. We berekenen de eerste oplossing. Eerst tellen we de wortel uit de discriminant erbij op, in de tweede stap trekken we de wortel af:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

De eerste oplossing is −3. De tweede oplossing berekenen we door de wortel af te trekken:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Nu hebben we beide oplossingen van de vergelijking, x₁ = −3 en x₂ = −4.

Om deze werkwijze onder de knie te krijgen, moet je de waarden a, b en c beslist goed kunnen bepalen. Hoe je die goed bepaalt, is beschreven in het eerste artikel over kwadratische vergelijkingen.

En wat betekent deze oplossing grafisch, hoe zie je dat in de grafiek? Als we de grafiek tekenen van de functie die aan de linkerkant van de vergelijking staat, zien we dat de grafiek van deze kwadratische functie de x-as snijdt in twee punten: in de punten x₁ = −3 en x₂ = −4.

Grafiek van de functie y=x^2+7x+12

Discriminant gelijk aan nul

Als de discriminant nul is, betekent dat dat de vergelijking een oplossing heeft, maar slechts één; of liever gezegd twee, maar gelijke. Voorbeeld: los de vergelijking x² − 10x + 25 = 0 op. We berekenen de discriminant:

$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

De oplossing berekenen we net als in het vorige onderdeel met de formule. Maar omdat de discriminant nul is, verdwijnt het stuk plus/min de wortel uit D uit de formule, omdat we nul zouden optellen/aftrekken.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

We hebben één dubbele oplossing gekregen, x = 5. Wat betekent dat grafisch? Dat de grafiek van de functie de x-as in precies één punt raakt, in zijn top.

Grafiek van de functie y=x^2-10x+25

Negatieve discriminant

Als we een negatieve discriminant krijgen, heeft de kwadratische vergelijking in de reële getallen geen oplossing. De vergelijking kunnen we in de complexe getallen oplossen, maar daarover gaat pas een volgend artikel. Als voorbeeld proberen we deze kwadratische vergelijking op te lossen: x² + x + 1 = 0. De discriminant:

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

De kwadratische vergelijking heeft dus geen oplossing in de reële getallen. Je kunt het proberen: de veelterm x² + x + 1 is positief voor alle reële getallen. Als je bijvoorbeeld voor x één invult, krijg je: 1 + 1 + 1 = 3. Voor x = −1 hebben we 1 − 1 + 1 = 1. Voor x = 0 hebben we 0 + 0 + 1 = 1. En zo ook voor andere getallen. Je kunt ook de grafiek van de functie y = x² + x + 1 bekijken, die snijdt de x-as nooit.

Grafiek van de functie y=x^2+x+1

De formules van Viète

We weten al hoe we de oplossingen van een kwadratische vergelijking berekenen. Maar welk verband is er tussen die oplossingen? We proberen beide oplossingen x₁ en x₂ bij elkaar op te tellen:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Als we de oplossingen van de kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 optellen, krijgen we het quotiënt −b/a. Wat gebeurt er als we de oplossingen vermenigvuldigen?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{D} - b \cdot \sqrt{D} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Als we de oplossingen dus vermenigvuldigen, krijgen we het getal c/a. En dit zijn de formules van Viète. Nog een keer bij elkaar:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Merk op dat in de noemer van de breuk altijd de uitdrukking a staat. Een speciaal geval is de kwadratische vergelijking waarvoor a = 1 geldt. Dan kunnen we de formules van Viète zo opschrijven:

$\begin{array}{rcl} als a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Dat kunnen we gebruiken bij het zoeken naar oplossingen van kwadratische vergelijkingen. In plaats van omslachtig de discriminant te berekenen, kunnen we kijken of we zulke getallen x₁ en x₂ kunnen vinden dat de bovenstaande verbanden gelden. Dit heet de som-productmethode. Voorbeeld: vind de oplossingen van de vergelijking x² + 8x + 15 = 0. Er geldt a = 1, dus we kunnen de eenvoudigere formules van Viète gebruiken. We zoeken getallen x₁ en x₂ zo dat geldt:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Als we ons beperken tot gehele getallen, hebben we in totaal vier mogelijkheden om als product 15 te krijgen:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Nu moet de som van de getallen aan de linkerkant −8 geven. Slechts één paar geeft zo'n som, namelijk −3 en −5. Deze getallen zijn dus de oplossingen van de kwadratische vergelijking. We kunnen ze in de vergelijking invullen, er moet nul uitkomen:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Het klopt. Als je de oplossingen kent, kun je de vergelijking ook in een overzichtelijkere vorm opschrijven. Als x₁ en x₂ de oplossingen van de vergelijking ax² + bx + c = 0 zijn, kun je, als a = 1, de vergelijking herschrijven in de vorm

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

De vorige vergelijking kunnen we dus herschrijven in de vorm:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Hoofdstukken: Kwadratische vergelijkingen, Discriminant, Kwadratische vergelijking met een parameter, Kwadratische vergelijkingen in de complexe getallen

« Vorige: Kwadratische vergelijkingen

Volgende: Kwadratische vergelijking met een parameter »