Rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek heeft één rechte binnenhoek, dus met een grootte van 90 graden. Deze driehoek heeft enkele interessante eigenschappen, die in dit artikel aan bod komen.

Basisbeschrijving

De rechthoekige driehoek is al gedeeltelijk beschreven in het hoofdartikel over driehoeken. Een rechthoekige driehoek heeft één binnenhoek van 90 graden. De twee overige binnenhoeken moeten noodzakelijk kleiner zijn dan 90 graden, want anders zou de som van de binnenhoeken niet gelijk zijn aan 180 graden. Er geldt zelfs dat de som van de twee overige hoeken precies 90 graden is.

Een rechthoekige driehoek heeft natuurlijk drie zijden. Twee daarvan heten rechthoekszijden (de rode zijden), dat zijn de kleinere zijden, en de derde zijde heet de schuine zijde (de blauwe zijde) — dat is de langste zijde. De schuine zijde ligt altijd tegenover het hoekpunt waar de rechte hoek is.

Stelling van Pythagoras

Misschien wel de beroemdste wiskundige stelling die er is, de stelling van Pythagoras, geldt juist in de rechthoekige driehoek. De stelling van Pythagoras gaat over de lengtes van de zijden van een driehoek. De stelling zegt dat “de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek gelijk is aan de som van de oppervlakten van de vierkanten op de rechthoekszijden”. Wiskundig opgeschreven voor onze driehoek, waarin zijde a de schuine zijde is:

$$a^2=b^2+c^2$$

De stelling van Pythagoras in een afbeelding, dit keer in de gebruikelijke notatie met schuine zijde c: Aan de stelling is een apart artikel gewijd.

Oppervlakte van een rechthoekige driehoek

In een rechthoekige driehoek kun je de oppervlakte heel eenvoudig berekenen, omdat de hoogtelijnen samenvallen met de rechthoekszijden. Stel je de rechthoekige driehoek uit de eerste afbeelding voor. Hoe zouden we de oppervlakte berekenen zonder enige hoogtelijnen te kennen? We kunnen de driehoek aanvullen tot een rechthoek. De zijden van de rechthoek worden gevormd door de rechthoekszijden van de driehoek en de overige twee zijden vullen we zo aan dat er echt een rechthoek ontstaat: De oppervlakte van de rechthoek kunnen we al berekenen, het is het product van de lengtes van twee aanliggende zijden, in ons geval het product van de rode zijden AC en AB. Zo krijgen we de oppervlakte van de rechthoek. De schuine zijde BC is echter de diagonaal van de rechthoek, die die rechthoek halveert, dus als we de oppervlakte van de rechthoek door twee delen, krijgen we de oppervlakte van de rechthoekige driehoek. De formule ziet er dus zo uit:

$${\text{opp.}}_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

waarbij b en c de lengtes van de rechthoekszijden zijn.

Goniometrische verhoudingen sinus en cosinus

In een rechthoekige driehoek gelden de basale goniometrische verhoudingen en hun verbanden. Goniometrische verhoudingen zoals sinus, cosinus, tangens en cotangens drukken de verhouding tussen de afzonderlijke lengtes van de zijden in een rechthoekige driehoek uit. Laten we nog een keer de eerste driehoek erbij pakken, dit keer met gemarkeerde hoeken.

Als we de verhouding van de lengtes van twee zijden willen weten, nemen we beide lengtes en delen we ze in de genoemde volgorde. De verhouding van de lengtes van de zijden b:c (we lezen “b staat tot c”) krijgen we bijvoorbeeld door 3/5 te delen (zijde b heeft lengte 3, zijde c lengte 5).

De sinus werkt dan met de verhouding van twee zijden en één hoek. Voor onze afbeelding geldt: als we de verhouding van de zijden b:a nemen, krijgen we de waarde van de sinus van hoek β. De cosinus werkt op dezelfde manier, alleen voor de verhouding c:a en dezelfde hoek β. Er geldt dus:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

De sinus en de cosinus werken altijd alleen met die hoeken in een rechthoekige driehoek die kleiner zijn dan 90 graden. In dit geval met de hoeken β en γ. In dit bereik geven de sinus en de cosinus altijd een getal in het interval ⟨0, 1⟩, waardoor je de regel kunt onthouden dat je altijd de kortere zijde door de langere zijde deelt — om juist een getal uit het interval ⟨0, 1⟩ te krijgen.

Beide functies werken tegelijk met één rechthoekszijde en de schuine zijde, het gaat nooit om twee rechthoekszijden tegelijk. Omdat je altijd het kortere door het langere deelt, staat de schuine zijde altijd in de noemer van de breuk. Als je naar de formules boven deze alinea kijkt, staat in de noemer altijd a, de schuine zijde van de driehoek.

De laatste regel is dat de sinus met de overstaande rechthoekszijde werkt, terwijl de cosinus met de aanliggende rechthoekszijde werkt. Wat betekent dat? Als we hoek β hebben, dan is de aanliggende rechthoekszijde de rechthoekszijde die uit punt B vertrekt, rechthoekszijde c. De overstaande is de andere rechthoekszijde, rechthoekszijde b. Daarom staat in de formule bij de sinus zijde b en bij de cosinus zijde c.

Samengevat: de sinus geeft de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de schuine zijde, de cosinus de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de schuine zijde. Hoe kunnen we dat gebruiken? Als je de hoeken in de driehoek kent en de lengte van de schuine zijde of een rechthoekszijde, kunnen we de lengtes van de overige zijden berekenen. Een voorbeeld:

Voor de vorige driehoek geldt:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Wat is de lengte van zijde a? We weten dat geldt:

$$\sin (\beta )=\frac{b}{a}$$

De waarde van de sinus kennen we, de lengte van zijde b kennen we ook, we zoeken de lengte van zijde a. We maken a vrij met behulp van equivalente bewerkingen:

$$\begin{array}{rcl}\sin (\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \sin (\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\sin (\beta )}\end{array}$$

(Eerst hebben we de vergelijking met a vermenigvuldigd en daarna hebben we de vergelijking door de sinus gedeeld.) Aan de rechterkant hebben we nu alleen bekende waarden, dus we vullen in. De waarde van de sinus berekenen we met de rekenmachine.

$$a=\frac{b}{\sin (\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

Zijde a heeft lengte 5,83. Als je de sinus met de rekenmachine berekent, let er dan op dat de stand voor graden aanstaat. Het probleem is namelijk vaak dat je met radialen rekent, en dat is een andere hoekmaat. Er geldt echter het omrekeningsverband:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot deg,$$

waarbij deg jouw waarde in graden is.

Goniometrische verhoudingen tangens en cotangens

In een rechthoekige driehoek kun je ook deze twee verhoudingen eenvoudig gebruiken. Ook hier geldt dat we altijd met hoeken kleiner dan 90 graden werken. In tegenstelling tot de sinus en de cosinus werken deze functies echter niet met de schuine zijde van de driehoek, maar alleen met de rechthoekszijden. Er geldt dus dat de tangens van een hoek gelijk is aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende rechthoekszijde en de cotangens aan de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde tot de overstaande.

Voor de vorige driehoek geldt dus:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

We proberen in de vorige driehoek de lengte van zijde AC (zijde b) te berekenen met behulp van hoek β. De grootte ervan kennen we uit het vorige voorbeeld. We weten dat geldt:

$$\tan (\beta )=\frac{b}{c}$$

We maken zijde b vrij:

$$\begin{array}{rcl}\tan (\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \tan (\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \tan (\beta )\end{array}$$

(We hebben de vergelijking alleen met c vermenigvuldigd en de kanten verwisseld.) Nu weten we alles wat nodig is om de lengte van zijde b te berekenen. We vullen in:

$$b=c\cdot \tan (\beta )=5\cdot \tan (30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Al uit de afbeelding zien we dat we de juiste oplossing hebben gekregen. Let er alleen weer op dat in de formule in de tangens de waarde in graden staat, terwijl de rekenmachine misschien een hoek in radialen vereist.

Ter illustratie kunnen we dezelfde zijde berekenen met behulp van de cotangens:

$$\begin{array}{rcl}\cot (\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \cot (\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\cot (\beta )}\end{array}$$

We vullen de waarden in:

$$b=\frac{5}{\cot (30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

Ook nu is het juiste resultaat eruit gekomen.