Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van breuken

Met een breuk kunnen we elk rationaal getal opschrijven. Een breuk bestaat uit twee delen. Het bovenste deel heet de teller en het onderste de noemer. Er bestaat ook een samengestelde breuk, en dat is niets anders dan een breuk die in de teller of de noemer weer een breuk heeft. En trouwens, alle tekens tussen breuken (plus, min, is gelijk aan enzovoort) schrijf je altijd op de hoogte van de breukstreep, niet op de hoogte van de teller en ook niet op de hoogte van de noemer. En wist je dat vijf van de vier mensen moeite hebben met breuken?

Basisbegrippen

Een breuk heeft de volgende vorm:

$$\frac{\text{teller}}{\text{noemer}}$$

Een voorbeeld van een breuk is de breuk

$$\frac{2}{5},$$

dus twee vijfde. De noemer heet zo omdat hij de breuk een naam geeft. Vijfde, derde, zesde… dat is de hoofdnaam van de breuk en die is afgeleid van het getal dat onder de breukstreep staat. De teller geeft daarentegen het aantal aan, in het vorige voorbeeld waren dat twee vijfde. Tot zover de namen.

In de teller en de noemer kan in principe elk getal of weer een breuk staan, maar meestal komen we breuken tegen waarbij zowel de teller als de noemer een natuurlijk getal is.

Een breuk is gewoon een andere schrijfwijze van delen, de waarde van een breuk rekenen we uit door de teller door de noemer te delen. Als we in het algemeen een breuk $\frac{a}{b}$ hebben, is de waarde van de breuk het getal a/b. De vorige breuk (twee vijfde) heeft dus de waarde 2/5, en dat is 0,4.

Omzetten naar de eenvoudigste vorm

Met breuken kunnen we op verschillende manieren werken en hun vorm veranderen — ze uitbreiden en vereenvoudigen —, waarbij de waarde van de breuk niet verandert. Dat kun je je ook gemakkelijk in woorden voorstellen, een half heeft bijvoorbeeld dezelfde waarde als twee vierde of vier achtste. Dat komt doordat een breuk een vermomde deling is. En het getal een half kunnen we krijgen door verschillende getallen te delen. Vier gedeeld door acht is dus een half. Tien gedeeld door twintig is ook een half. Daarom hebben de breuken

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

dezelfde waarde.

Zoals je ziet, hebben we de andere breuken met dezelfde waarde gekregen door in de oorspronkelijke breuk 1/2 zowel de teller als de noemer met twee te vermenigvuldigen. Na het vermenigvuldigen kwam de breuk 2/4 eruit, twee vierde. Als we ook bij deze breuk de teller en de noemer met twee vermenigvuldigen, krijgen we de breuk 4/8, vier achtste. Op dat moment hebben we de breuk uitgebreid.

De omgekeerde bewerking van uitbreiden is het vereenvoudigen van breuken, waarbij we de teller en de noemer door hetzelfde getal delen. Als we een breuk willen vereenvoudigen, moeten we een getal vinden waardoor zowel de teller als de noemer zonder rest deelbaar is. Het vereenvoudigen van breuken wordt in de praktijk heel vaak gebruikt, want door te vereenvoudigen wordt een breuk aanzienlijk eenvoudiger en kun je er makkelijker mee werken. Hebben we de breuk 12/18, dan zien we in één oogopslag dat beide getallen even zijn, en dus deelbaar door twee. Natuurlijk kunnen we de breuk door twee vereenvoudigen, maar bij een tweede blik zie je dat de teller en de noemer ook deelbaar zijn door zes. Als we de breuk door zes vereenvoudigen, ontstaat een eenvoudigere breuk dan wanneer we alleen door twee zouden vereenvoudigen. Daarom vereenvoudigen we de breuk door zes. We krijgen de breuk 2/3.

Deze breuk kan niet verder vereenvoudigd worden, er bestaat geen getal (groter dan één) waardoor we zowel de teller als de noemer zonder rest kunnen delen. Een breuk die niet verder vereenvoudigd kan worden, noemen we onvereenvoudigbaar, of we zeggen dat hij in de eenvoudigste vorm staat. Probeer altijd met breuken in de eenvoudigste vorm te werken. Als je ergens met breuken werkt, kijk dan eerst of sommige breuken niet vereenvoudigd kunnen worden. Dat bespaart je tijd. Nog een voorbeeld:

$$\frac{24}{42}$$

Door welk getal zijn 24 en 42 allebei deelbaar? Het zijn allebei even getallen, dus zeker door twee. We delen de teller en de noemer door twee:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Bestaat er een getal dat beide getallen deelt? Ja, dit keer de drie.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Bestaat er nog steeds een getal dat de teller en de noemer deelt? Nee, de breuk staat in de eenvoudigste vorm.

Breuken vermenigvuldigen

Je zult misschien verbaasd zijn, maar vermenigvuldigen en delen is bij breuken eenvoudiger dan optellen en aftrekken. Als je twee breuken moet vermenigvuldigen, vermenigvuldig je gewoon de teller van de eerste breuk met de teller van de tweede breuk en de noemer met de noemer. Dat is alles. Een voorbeeld van het vermenigvuldigen van breuken:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Bij het vermenigvuldigen van breuken bestaat er bovendien nog een andere manier van vereenvoudigen. Je hoeft niet alleen binnen één breuk te vereenvoudigen, maar je kunt ook kruislings vereenvoudigen. Als je de teller van de eerste breuk met de noemer van de tweede breuk kunt vereenvoudigen, kun je dat doen en zo het vermenigvuldigen makkelijker maken. Een voorbeeld (de getallen die we vereenvoudigen zijn gemarkeerd):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Wat hebben we gedaan? We hebben de vier en de acht door vier gedeeld. De waarde van het product is niet veranderd. Als we het nu niet hadden vereenvoudigd, hadden we het ook pas na het vermenigvuldigen kunnen doen.

Een breuk met een geheel getal vermenigvuldigen kun je eenvoudig omzetten naar het vermenigvuldigen van twee breuken door het gehele getal c te schrijven als c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Zoals je ziet, hoef je als je een breuk met een geheel getal vermenigvuldigt, alleen de teller van de breuk met dit getal te vermenigvuldigen.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Breuken delen

Breuken delen is praktisch hetzelfde als vermenigvuldigen. Als je de ene breuk door de andere wilt delen, draai je de tweede breuk (de deler) om en vermenigvuldig je de breuken gewoon. Een eenvoudig voorbeeld van het delen van breuken (merk op dat we na het omdraaien van de breuk 12 en 6 kunnen vereenvoudigen):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

We hebben het delen omgezet in vermenigvuldigen door de breuk $\frac{6}{11}$ om te draaien tot de breuk $\frac{11}{6}$ en die te vermenigvuldigen met de andere, onveranderde breuk. Waarom werkt het zo? Je hoeft het je maar voor te stellen bij een eenvoudiger voorbeeld, bijvoorbeeld delen door een half. Als we delen

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

wat doen we dan eigenlijk? We zoeken uit hoe vaak een half in tien past. In elke eenheid past een half precies twee keer (twee maal een half is één), dus in tien past het twintig keer. Tot dezelfde uitkomst komen we als we twee maal tien nemen — ook twintig. En welke waarde krijgen we als we een half omdraaien? Twee gehelen, en dat is twee.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Als uitkomst hebben we dus:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Breuken optellen

Breuken optellen is al wat ingewikkelder. Breuken kunnen we namelijk alleen optellen als ze dezelfde noemer hebben. Als de breuken niet dezelfde noemer hebben, moeten we ze gelijknamig maken. Daarna gaan we gewoon te werk als bij vermenigvuldigen, we tellen de teller van de eerste breuk op bij de teller van de tweede breuk. In tegenstelling tot vermenigvuldigen laten we de noemer wel gelijk. Eerst een voorbeeld van het optellen van breuken met dezelfde noemer:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Is dat logisch? Een half plus vijf halven is zes halven — dat is best logisch.

Als de breuken niet dezelfde noemer hebben, wat vaker voorkomt, moeten we de breuken gelijknamig maken, en dat betekent dat we een van de breuken of allebei uitbreiden zodat we dezelfde noemer krijgen. Laten we deze twee breuken optellen:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

De eerste breuk heeft in de noemer een drie, de tweede breuk een twee. Op dit moment kunnen we ze moeilijk optellen, maar als we de eerste breuk met twee uitbreiden, krijgt hij in de noemer een zes, en als we de tweede breuk met drie uitbreiden, krijgt ook die in de noemer een zes. Nu hebben beide breuken dezelfde noemer en kunnen we ze eenvoudig optellen. In de eerste stap breiden we de breuken dus zo uit dat ze dezelfde noemer hebben:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

En nu tellen we alleen de tellers op en laten we de noemer gelijk:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Let op dat we bij het optellen niet over de breuken heen kunnen vereenvoudigen zoals bij vermenigvuldigen. Na de omvorming hadden we bijvoorbeeld in de noemer van de eerste breuk een zes en in de teller van de tweede breuk een vijftien. Toch mogen we niet door drie vereenvoudigen:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Dit vereenvoudigen zouden we alleen mogen doen als we die breuken zouden vermenigvuldigen:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Hoe maak je in het algemeen twee breuken gelijknamig? We breiden de eerste breuk uit met de noemer van de tweede breuk en de tweede breuk met de noemer van de eerste breuk. In het algemeen kunnen we dat zo opschrijven:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

De eerste breuk hebben we uitgebreid met de uitdrukking d, en dat is de noemer van de tweede breuk. De tweede breuk hebben we uitgebreid met de uitdrukking b, en dat is de noemer van de eerste breuk. Een concreet voorbeeld:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

De eerste breuk hebben we met acht uitgebreid, de tweede breuk met vier. Na deze stap kunnen we de breuken optellen.

De algemene formule voor het optellen van breuken ziet er dan zo uit:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Breuken aftrekken

Breuken aftrekken gaat precies hetzelfde als breuken optellen, alleen tellen we de tellers die we krijgen niet op, maar trekken we ze af. De vorige algemene formule voor optellen passen we dus zo aan:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Een concreet voorbeeld; eerst maken we de breuken gelijknamig:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

En nu trekken we alleen de tellers af en laten we de noemer gelijk:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Kruislings vermenigvuldigen

Bij vergelijkingen kunnen we kruislings vermenigvuldigen gebruiken, wat de gelijkheid van twee breuken vereenvoudigt. In de praktijk is het niets anders dan twee equivalente bewerkingen van de gegeven vergelijking. Neem dus een vergelijking met twee breuken

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Deze vergelijking kunnen we omvormen door hem eerst met de noemer van de eerste breuk en daarna met die van de tweede breuk te vermenigvuldigen. Eerst vermenigvuldigen we de vergelijking met de noemer van de eerste breuk, dus met de uitdrukking b. We krijgen

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Daarna vermenigvuldigen we de vergelijking met de uitdrukking d en krijgen

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

In de eerste breuk delen we b weg en in de tweede d. Het resultaat is de vergelijking

$$ad=bc.$$

Dit kunnen we dus beschouwen als een formule: als we een vergelijking in de vorm van twee breuken hebben, kunnen we die als volgt omvormen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Hier volgt een voorbeeld. In de eerste stap schrijven we de breuken uit volgens de vorige formule en in de tweede stap herleiden we alleen nog even de uitdrukkingen aan beide kanten.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Daarna los je de vergelijking verder op als een gewone kwadratische vergelijking, maar dat valt buiten het bestek van dit artikel.

Verwante onderwerpen

Breuken komen vaak voor bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen, daarover gaat het artikel gebroken uitdrukkingen. Er bestaat ook een speciaal algoritme voor de staartdeling van een veelterm door een veelterm.