Verhoudingstabel

Een verhoudingstabel gebruik je bij eenvoudige berekeningen met recht en omgekeerd evenredige verbanden. Meestal kennen we drie gegevens die van elkaar afhangen en moeten we het vierde uitrekenen. Bij een verhoudingstabel moeten we recht en omgekeerd evenredig zorgvuldig onderscheiden, want de berekeningen zijn verschillend.

Aanleiding

Je gaat naar de winkel om een voorraad limonade te kopen. Voor € 10 heb je 5 flessen limonade gekocht. Hoeveel flessen zou je kopen als je € 20 had? Dat is een typisch voorbeeld dat je met een verhoudingstabel kunt oplossen.

Op dit moment kunnen we een eenvoudige redenering volgen — in het eerste geval hadden we € 10 tot onze beschikking, in het tweede € 20. We kunnen dus verwachten dat als we twee keer zoveel euro hebben, we er twee keer zoveel flessen voor kopen. Voor € 20 zouden we dus 2 · 5 = 10 flessen kopen.

De vorige werkwijze “hoe meer… hoe meer” is niet helemaal vanzelfsprekend, want we kunnen het volgende voorbeeld hebben: 10 metselaars bouwen een huis in vier maanden. Hoe lang doen 20 metselaars erover om het huis te bouwen? Als we de vorige werkwijze gebruiken — er zijn twee keer zoveel metselaars, dus het worden twee keer zoveel maanden — krijgen we dat 20 metselaars het huis in 2 · 4 = 8 maanden zouden bouwen.

Deze werkwijze klopt natuurlijk niet, want hoe meer metselaars, hoe minder maanden ze erover doen om het huis te bouwen. We moeten dus omgekeerd te werk gaan: twee keer zoveel metselaars bouwen het huis in half zoveel maanden. Zo krijgen we de juiste uitkomst: 20 metselaars bouwen het huis in 4/2 = 2 maanden.

De vorige twee verschillende werkwijzen hebben ook hun namen: recht evenredig en omgekeerd evenredig.

Recht evenredig

Als geldt “hoe meer… hoe meer”, is het een recht evenredig verband. Voorbeelden:

• Hoe meer geld we hebben, hoe meer limonade/komkommers/steps we kunnen kopen.
• Hoe meer artikelen een journalist schrijft, hoe meer geld hij verdient.
• Hoe meer mensen er graven, hoe meer ze uitgraven.
• Hoe langer we de pomp laten pompen, hoe meer water we oppompen.

Voorbeeld: een auto verbruikt 6 liter benzine op 100 kilometer. Hoeveel liter benzine verbruikt hij na 250 kilometer rijden? Dit is een voorbeeld van een recht evenredig verband, want hoe meer de auto rijdt, hoe meer benzine hij verbruikt.

Werkwijze: eerst schrijven we op wat we weten. Daarvoor gebruiken we de volgende tabel, die overzichtelijk laat zien wat we weten en wat we willen uitrekenen:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\end{array}$$

In de eerste rij staan de gegevens die we helemaal kennen. In de tweede rij staat rechts het gegeven dat we niet kennen en links het gegeven waarvoor we de onbekende willen uitrekenen. In de kolommen moeten altijd dezelfde gegevens staan, in dit geval moeten in een kolom steeds kilometers of steeds liters staan.

Er is een hulpmiddel dat je helpt dit voorbeeld uit te rekenen. Teken eerst rechts een pijl van onder naar boven, zo:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

Als het om een recht evenredig verband gaat, tekenen we links dezelfde pijl, van onder naar boven:

$$\begin{array}{rcl}100\text{ km}& \dots & 6\text{ liter}\\ \uparrow 250\text{ km}& \dots & x\text{ liter}\uparrow \end{array}$$

In de volgende stap maken we breuken van de kolommen in de richting van de pijlen. De teller is dan het getal waar de pijl begint en de noemer het getal waar de pijl eindigt. Deze breuken stellen we aan elkaar gelijk. Uit de eerste kolom (kilometers) krijgen we de breuk $\frac{250}{100}$ en uit de tweede (liters) de breuk $\frac{x}{6}$. Als vergelijking opgeschreven:

$$\frac{250}{100}=\frac{x}{6}$$

Dit is een gewone lineaire vergelijking, die we kunnen oplossen met equivalente bewerkingen. We vermenigvuldigen de hele vergelijking met zes, waarmee we de breuk aan de rechterkant kwijtraken:

$$6\cdot \frac{250}{100}=x$$

Nu hoeven we alleen nog x uit te rekenen:

$$x=6\cdot \frac{250}{100}=6\cdot \frac{5}{2}=\frac{30}{2}=15$$

De uitkomst is dat de auto na 250 kilometer rijden 15 liter benzine verbruikt.

Omgekeerd evenredig

Als geldt “hoe meer … hoe minder”, is het een omgekeerd evenredig verband. Voorbeeld:

• Hoe meer mensen een pizza delen, hoe kleiner het stuk is dat iedereen krijgt.
• Hoe sneller ons internet is, hoe eerder we een film downloaden.
• Hoe sneller we rijden, hoe eerder we bij het doel zijn.
• Hoe meer werklieden aan een huis werken, hoe eerder het huis klaar is.

Voorbeeld: op je computer heb je internet met een snelheid van 2 MB per seconde en een film heb je in 450 seconden gedownload. Hoe lang zou je erover doen om dezelfde film te downloaden als je internet met een snelheid van 6 MB per seconde had?

De werkwijze is dezelfde als bij recht evenredig — we schrijven de gegevens in een overzichtelijke tabel:

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ seconden}\\ 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ seconden}\end{array}$$

Nu de pijlen. De rechterpijl gaat weer van onder naar boven, daar verandert niets. Maar omdat het om een omgekeerd evenredig verband gaat, loopt de linkerpijl de andere kant op, van boven naar beneden.

$$\begin{array}{rcl}2\text{ MB/s}& \dots & 450\text{ seconden}\\ \downarrow 6\text{ MB/s}& \dots & x\text{ seconden}\uparrow \end{array}$$

De rest van de werkwijze is hetzelfde — we maken van deze tabel breuken, weer in de richting van de pijlen. We krijgen de breuken $\frac{2}{6}$ en $\frac{x}{450}$, die we aan elkaar gelijk stellen:

$$\frac{2}{6}=\frac{x}{450}$$

We vermenigvuldigen de vergelijking met 450:

$$450\cdot \frac{2}{6}=x$$

En we rekenen x uit:

$$x=450\cdot \frac{2}{6}=450\cdot \frac{1}{3}=\frac{450}{3}=150$$

De film downloaden we met de snellere verbinding in 150 seconden.

Merk op dat de werkwijze overeenkomt met onze intuïtie. In de laatste stap delen we 450 door drie, en dat is te verwachten. De snelheid gaat van 2 MB/s naar 6 MB/s, dat is drie keer zo snel, we hebben een drie keer grotere snelheid. Daarom verwachten we dat de tijd waarin we de film downloaden drie keer zo kort wordt → en precies dat drukt de breuk $\frac{450}{3}$ uit.

Voorbeelden

Eerste voorbeeld: een kamer in een luxehotel kost voor zeven dagen veertienhonderd euro. Hoeveel kost dezelfde kamer als we er twaalf dagen heen willen?

Eerst schrijven we de gegevens in een tabel:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ dagen}& \dots & 1400\text{ euro}\\ 12\text{ dagen}& \dots & x\text{ euro}\end{array}$$

Nu moeten we beslissen of het een recht of omgekeerd evenredig verband is. Geldt dat hoe langer we er blijven, hoe minder we betalen? Nee, het omgekeerde geldt — hoe langer we er zijn, hoe meer we betalen. Het is dus recht evenredig. We tekenen de pijlen erbij:

$$\begin{array}{rcl}7\text{ dagen}& \dots & 1400\text{ euro}\\ \uparrow 12\text{ dagen}& \dots & x\text{ euro}\uparrow \end{array}$$

Met de pijlen maken we de breuken:

$$\frac{12}{7}=\frac{x}{1400}$$

We lossen de vergelijking op:

$$\begin{array}{rcl}\frac{12}{7}& =& \frac{x}{1400}\\ 1400\cdot \frac{12}{7}& =& x\\ x& =& 1400\cdot \frac{12}{7}\\ x& =& \frac{1400\cdot 12}{7}\\ x& =& 2400\end{array}$$

De kamer zou ons voor 12 dagen € 2400 kosten.

Tweede voorbeeld: 10 vakantiewerkers plukken aardbeien en plukken per dag 50 kilo aardbeien. Hoeveel kilogram aardbeien plukken 7 vakantiewerkers per dag?

We schrijven de gegevens in een tabel:

$$\begin{array}{rcl}10\text{ werkers}& \dots & 50\text{ kg}\\ 7\text{ werkers}& \dots & x\text{ kg}\end{array}$$

Is het recht of omgekeerd evenredig? In dit voorbeeld zit een valkuil, want anders dan bij de vorige voorbeelden hebben we in de rij met de onbekende minder werkers dan in de eerste rij. Laat je daardoor niet in de war brengen, het is nog steeds recht evenredig, want hoe meer werkers, hoe meer geplukte aardbeien. Of andersom — hoe minder werkers, hoe minder aardbeien. Dat is ook recht evenredig. Beide pijlen gaan dus van onder naar boven.

$$\begin{array}{rcl}10\text{ werkers}& \dots & 50\text{ kg}\\ \uparrow 7\text{ werkers}& \dots & x\text{ kg}\uparrow \end{array}$$

We maken de breuken:

$$\frac{7}{10}=\frac{x}{50}$$

en rekenen x uit:

$$\begin{array}{rcl}\frac{7}{10}& =& \frac{x}{50}\\ 50\cdot \frac{7}{10}& =& x\\ x& =& 50\cdot \frac{7}{10}\\ x& =& 5\cdot 7\\ x& =& 35\end{array}$$

Zeven werkers plukken per dag 35 kilo aardbeien.

Derde voorbeeld: de gemiddelde staplengte van Sem is 80 cm. Op weg van school naar huis telde hij dat hij 1300 stappen zette. Hoeveel stappen zou hij zetten als zijn stap precies een meter was?

Eerst de tabel. Let op dat we in de opgave 80 cm en één meter hebben. In de tabel hebben we de gegevens echter in dezelfde eenheid nodig, dus in plaats van één meter gebruiken we 100 cm — we hadden ook andersom kunnen werken en 1 meter en 0,8 meter kunnen schrijven.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ stappen}\\ 100\text{ cm}& \dots & x\text{ stappen}\end{array}$$

En welk verband is het? Hoe langer onze stap, hoe minder stappen we nodig hebben om een bepaalde afstand af te leggen, dus het is omgekeerd evenredig. De linkerpijl gaat van boven naar beneden, de rechterpijl van onder naar boven.

$$\begin{array}{rcl}80\text{ cm}& \dots & 1300\text{ stappen}\\ \downarrow 100\text{ cm}& \dots & x\text{ stappen}\uparrow \end{array}$$

De breuken zien er zo uit:

$$\frac{80}{100}=\frac{x}{1300}$$

We maken x vrij en rekenen het uit:

$$\begin{array}{rcl}\frac{80}{100}& =& \frac{x}{1300}\\ 1300\cdot \frac{80}{100}& =& x\\ x& =& 1300\cdot \frac{4}{5}\\ x& =& \frac{1300\cdot 4}{5}\\ x& =& 1040\end{array}$$

Sem zou voor dezelfde afstand maar 1040 stappen nodig hebben.

Formules

Zoals uit de voorgaande berekeningen blijkt, zijn de werkwijzen steeds hetzelfde en leiden ze tot eenvoudige formules. Eerst schrijven we de tabel symbolisch op:

$$\begin{array}{rcl}a& \dots & b\\ c& \dots & x\end{array}$$

Dan gelden deze formules. Voor recht evenredig:

$$x=b\cdot \frac{c}{a}$$

En voor omgekeerd evenredig:

$$x=b\cdot \frac{a}{c}$$