Stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras is misschien wel de beroemdste wiskundige stelling die er is. Over Pythagoras van Samos zelf kun je elders lezen. Nu storten we ons op de driehoeken.

Oppervlakte van het vierkant op een zijde van de driehoek

De stelling van Pythagoras vertelt ons een nuttig verband tussen de oppervlakten van vierkanten die we maken op de zijden van een rechthoekige driehoek. Stel je voor dat we deze rechthoekige driehoek hebben:

Het vierkante raster op de achtergrond geeft ons de afmetingen van de driehoek. De lengte van rechthoekszijde AC is 4 en de lengte van rechthoekszijde BC is 3. Maar wat is de lengte van zijde AB, de lengte van de schuine zijde van de driehoek? Op het eerste gezicht kunnen we de lengte niet vinden. Maar we kunnen proberen hem uit te rekenen.

Eerst maken we een vierkant op rechthoekszijde BC. Daarmee bedoelen we dat we een vierkant tekenen waarvan alle zijden even lang zijn als zijde BC, dus drie. In de afbeelding tekenen we dat zo:

Er is een vierkant BCDE ontstaan waarvan alle zijden lengte 3 hebben. Wat is de oppervlakte van zo'n vierkant? De oppervlakte van een vierkant berekenen we door de lengtes van twee zijden van het vierkant te vermenigvuldigen, dus de oppervlakte van vierkant BCDE is 3 · 3 = 9. We tekenen in de afbeelding het vierkant op de andere rechthoekszijde, op rechthoekszijde AC. Zo'n vierkant heeft zijden met lengte 4.

Dit vierkant heeft oppervlakte 4 · 4 = 16. Nu tekenen we het laatste vierkant, op de schuine zijde AB:

Wat de oppervlakte van dit nieuwe vierkant is, weten we nog niet, want we kennen de lengte van zijde AB niet. Maar nu kunnen we mooi gebruikmaken van de stelling van Pythagoras. Die zegt namelijk dat de oppervlakte van dit laatste vierkant ABHI gelijk is aan de som van de oppervlakten van de vorige twee vierkanten. De eerste twee vierkanten hadden dus oppervlakten 9 en 16, het laatste vierkant heeft daarom — volgens de stelling van Pythagoras — oppervlakte 9 + 16 = 25. We tekenen het in de afbeelding:

En nu blijft alleen de laatste vraag over — als vierkant ABHI oppervlakte 25 heeft, wat is dan de lengte van de zijden van dit vierkant? Het moet de wortel uit 25 zijn, dus de lengte van zijde AB is gelijk aan $\sqrt{25}=5$. Als we dat controleren en de oppervlakte van een vierkant met zijden van lengte 5 berekenen, krijgen we oppervlakte 5 · 5 = 25. En nu kunnen we aan de slag met de getallen en definities.

Definitie

De stelling van Pythagoras luidt ongeveer zo: “De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de oppervlakten van de vierkanten op de rechthoekszijden”. Wiskundig schrijf je deze stelling meestal zo op

$$c^2=a^2+b^2,$$

waarbij a en b de lengtes van de rechthoekszijden in een driehoek zijn en c de lengte van de schuine zijde.

Wat zegt de stelling van Pythagoras dus en hoe hangt deze notatie samen met de vorige afbeelding? De oppervlakte van het vierkant op een zijde van een driehoek betekent dat we een vierkant nemen waarvan de zijde even lang is als die gegeven zijde en daarvan de oppervlakte berekenen. De oppervlakte van een vierkant berekenen we door één lengte van een zijde met de andere lengte van een zijde te vermenigvuldigen, dus als een zijde lengte c heeft, is de oppervlakte opp. gelijk aan: opp. = c · c, wat we met machten kunnen schrijven als opp. = c².

De notatie c² = a² + b² kunnen we dus lezen als “de oppervlakte van een vierkant met zijden van lengte c is gelijk aan de som van de oppervlakten van vierkanten met zijden van lengte a en b”.

Ik benadruk nog een keer dat de stelling alleen geldt in een rechthoekige driehoek, niet in een willekeurige. De stelling van Pythagoras gebruik je klassiek als je de lengte van twee zijden weet en de lengte van de overblijvende zijde moet berekenen. Als we dus de lengte van beide rechthoekszijden a en b kennen en de lengte van de schuine zijde c willen vinden, dan berekenen we de oppervlakten op de rechthoekszijden, dus we berekenen a² + b². Zo krijgen we de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde c, dus we krijgen c². Om de lengte van zijde c te krijgen, nemen we gewoon de wortel van die berekende oppervlakte. Zo krijgen we de formule:

$$c=\sqrt{a^2+b^2},$$

waarbij c de lengte van de schuine zijde is en a, b de lengtes van de rechthoekszijden. Als we daarentegen de lengte van de schuine zijde en van één rechthoekszijde zouden kennen en de lengte van de overblijvende rechthoekszijde zouden willen berekenen, zouden we dat op dezelfde manier doen, alleen zouden we eerst een van de rechthoekszijden in de vergelijking vrijmaken. Dus als we c en b kennen en a willen berekenen, maken we in de vergelijking

$$c^2=a^2+b^2,$$

a² vrij door b² af te trekken:

$$c^2-b^2=a^2,$$

we verwisselen de linker- en rechterkant:

$$a^2=c^2-b^2$$

en tot slot nemen we de wortel:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Eerste voorbeeld

Stel dat we een driehoek ABC hebben waarvan we de lengtes van twee zijden kennen: a = 3 en b = 4. Het is dezelfde driehoek die we aan het begin hadden. De vraag is wat de lengte van de overblijvende zijde is, zijde c. We proberen het uit te rekenen met de genoemde formule. De driehoek wordt weergegeven in de volgende afbeelding:

We zien dat we de lengtes van de twee rechthoekszijden kennen en de lengte van de schuine zijde ontbreekt. Daarom gebruiken we de eerste, niet omgewerkte formule:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

We vullen voor de variabelen a en b de lengtes van de zijden in:

$$c=\sqrt{3^2+4^2}$$

In de formule hebben we een kwadraat — ter herinnering geldt het volgende verband:

$$a^2=a\cdot a\to 4^2=4\cdot 4=16$$

Na het uitrekenen van de kwadraten krijgen we dus:

$$\begin{array}{rcl}c& =& \sqrt{3^2+4^2}\\ c& =& \sqrt{9+16}\\ c& =& \sqrt{25}\\ c& =& 5\end{array}$$

Het resultaat is dat de lengte van zijde c gelijk is aan vijf.

Tweede voorbeeld

In dit voorbeeld proberen we de lengte van een van de rechthoekszijden uit te rekenen als we één rechthoekszijde kennen en bovendien de lengte van de schuine zijde. We hebben dus een driehoek ABC met zijden |AC| = 10 en |BC| = 6. De driehoek wordt weergegeven in de volgende afbeelding:

Uit de afbeelding zien we dat de schuine zijde, dus de langste zijde, zijde |AC| is. We moeten de lengte van zijde |AB| berekenen. We gebruiken de tweede formule, voor het berekenen van de lengte van een rechthoekszijde:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Om de stelling van Pythagoras goed te gebruiken, moeten we ons nu realiseren wat elke variabele betekent. In deze formule is variabele a de lengte van de zijde die we willen berekenen, in ons geval zijde |AB|. Variabele c is de lengte van de schuine zijde, de langste zijde, in ons geval zijde |AC|. En variabele b is de lengte van de rechthoekszijde waarvan we de lengte kennen, in ons geval |BC|. Daarom vullen we in de formule zo in:

$$|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-|BC{|}^2}$$

We vullen de concrete lengtes van de zijden in die we kennen:

$$|AB|=\sqrt{{10}^2-6^2}$$

We berekenen de machten en trekken af:

$$|AB|=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}$$

En tot slot nemen we de wortel:

$$|AB|=8$$

De lengte van zijde |AB| is gelijk aan acht.

Contextopgave

Stel je voor dat je over een rechte weg naar een vriendin loopt. Die weg is 250 meter lang. Na deze kwart kilometer sla je linksaf en loop je nog 100 meter en dan ben je bij je goede vriendin. De vraag is hoeveel korter de route wordt als je de rechte weg dwars over het veld neemt.

Als eerste stap berekenen we de lengte van de route als je over de weg loopt. Je loopt eerst 250 meter rechtdoor en dan 100 meter naar links. Dat is samen 250 + 100 = 350 meter. Nu is de berekening van de lengte van de route over het veld aan de beurt. Daarvoor is een afbeelding nodig.

Eén hokje in de afbeelding stelt 50 meter voor. Hoe zou de rechte route over het veld eruitzien? Het zou een lijnstuk zijn van punt A naar punt C. We tekenen het in de afbeelding in het rood.

Nu zien we al dat we voor de berekening van de lengte van de route over het veld alleen de stelling van Pythagoras goed hoeven toe te passen. We zoeken de lengte van de schuine zijde en we kennen de lengte van beide rechthoekszijden, dus we gebruiken de eerste formule en vullen die zo in:

$$|AC|=\sqrt{|AB{|}^2+|CB{|}^2}$$

We vullen de lengtes in:

$$|AC|=\sqrt{{250}^2+{100}^2}$$

We kwadrateren:

$$|AC|=\sqrt{62500+10000}=\sqrt{72500}$$

We nemen de wortel en ronden af:

$$|AC|=269$$

De lengte van de route over het veld is 269 meter. Dat is nog niet het einde van het voorbeeld, want de vraag was hoeveel korter de route over het veld is. We trekken de lengtes dus van elkaar af, het verschil noemen we v:

$$v=350-269=81$$

Het antwoord is dat de route ongeveer 81 meter korter is.

Lengte van de zijde van een vierkant

Wat is de lengte van de zijde van een vierkant waarvan de diagonaal lengte tien heeft? Hoe helpt de stelling van Pythagoras ons daarbij? We moeten in het vierkant een rechthoekige driehoek vinden die we kunnen gebruiken om de lengte van de zijde van het vierkant te berekenen. Ter herinnering: een vierkant heeft vier even lange zijden. Laten we de huidige situatie tekenen:

We zien dat er in het vierkant ineens twee driehoeken zijn verschenen die een rechte hoek hebben en die we zouden kunnen gebruiken om de lengte van de zijde te berekenen. Laten we bijvoorbeeld driehoek BCD nemen. Zijde DB is de schuine zijde, de andere twee zijn rechthoekszijden. De lengtes van de rechthoekszijden kennen we niet, maar de lengte van de schuine zijde wel. Deze rechthoekszijden zijn even lang, dus |BC| = |CD|. We gebruiken de basisvorm van de stelling van Pythagoras:

$$|BD{|}^2=|BC{|}^2+|CD{|}^2$$

Maar omdat de rechthoekszijden gelijk zijn, volstaat het om het kwadraat van één rechthoekszijde uit te rekenen en dat met twee te vermenigvuldigen — we hoeven niet het kwadraat van beide rechthoekszijden uit te rekenen, omdat ze gelijk zijn en we hetzelfde resultaat zouden krijgen. We kunnen dus schrijven:

$$|BD{|}^2=2(|BC{|}^2)$$

We kennen de lengte van zijde BD, dat is de schuine zijde. De lengte is tien. We vullen dit in de vergelijking in:

$${10}^2=2(|BC{|}^2)$$

We kwadrateren de tien:

$$100=2(|BC{|}^2)$$

We delen door twee:

$$\frac{100}{2}=|BC{|}^2$$

We vereenvoudigen de breuk:

$$50=|BC{|}^2$$

Nu zijn we bijna bij het doel. We weten dat het kwadraat van de lengte van de zijde van het vierkant gelijk is aan 50. Om de lengte van de zijde te vinden, moeten we nog de wortel van de vergelijking nemen, en dat mag, omdat we alleen met positieve getallen werken:

$$\sqrt{50}=\sqrt{|BC{|}^2}$$

De wortel uit vijftig laten we in deze vorm staan, maar aan de rechterkant van de vergelijking kunnen we de wortel en de macht weglaten, omdat ze elkaar opheffen.

$$\sqrt{50}=|BC|$$

Als je wilt, kun je ook de wortel uit vijftig uitrekenen. Afgerond zou je zeven krijgen:

$$7=|BC|$$

Er geldt dus dat de lengte van de zijde van het vierkant ongeveer zeven is, exact de wortel uit vijftig.

Rekenmachine

De schuine zijde bereken je uit beide rechthoekszijden, een rechthoekszijde uit de schuine zijde en de andere rechthoekszijde. De eenheden kun je bij elk veld omschakelen.