Tallfølger

En følge er en funksjon der definisjonsmengden er mengden av naturlige tall. En følge kan enten være uendelig, hvis definisjonsmengden er hele mengden av naturlige tall, eller endelig, hvis definisjonsmengden bare er en endelig delmengde av de naturlige tallene. Hvis det ikke uttrykkelig står at følgen er endelig, antar vi at den er uendelig.

Definisjon av følge

Dette kapitlet beskriver litt av meningen bak definisjonen av en følge. Du trenger ikke å kunne det, og du kan hoppe over hele kapitlet hvis du vil.

Innledningen har allerede avslørt at en følge er en funksjon med de naturlige tallene som definisjonsmengde. Verdimengden kan være en vilkårlig mengde, men her antar vi at den er mengden av reelle tall. Hva betyr det? Den mest synlige forskjellen er i grafen til funksjonen. Den er ikke en sammenhengende kurve, slik som ved vanlige funksjoner, men bare enkeltstående, isolerte punkter.

En følge kan for eksempel være tallene 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Dette er en ganske tydelig definert følge, og alle skjønner nok hvordan den fortsetter. Siden en følge er en funksjon, ser tabellen over avbildningen slik ut:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Tallene i den første kolonnen (verdier fra definisjonsmengden) viser dermed hvilken plass tallet har i følgen. I vår enkle følge står for eksempel tallet fem på tredjeplass. Det sier tabellen også. På fjerdeplass står tallet sju, på førsteplass står én, og så videre. Det følger også at definisjonsmengden til en endelig følge p bør være en mengde på formen

$$D_p=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

slik at det virkelig dreier seg om rekkefølgen og ingen plass er hoppet over. For eksempel egner denne mengden

$$D_p=\{1,2,3,5,7\}$$

seg ikke som definisjonsmengde for en følge, fordi den mangler det fjerde og det sjette elementet.

En følge uttrykker altså at leddene kan ordnes på en bestemt måte: hvert ledd i følgen, bortsett fra det første og det siste, har en forgjenger og en etterfølger. Det er en stor forskjell fra reelle funksjoner, der ingenting slikt gjelder. Tar vi funksjonen f(x) = 2x, hvilken verdi kommer etter f(5/2)? Det vet vi ikke, for resultatet er et reelt tall, og reelle tall har ingen etterfølger.

Hvordan en følge skrives

Vi vet allerede at en følge, enkelt sagt, er en nummerert liste med tall. Nå skal vi se på hvordan vi kan skrive en følge. Selve følgen gir vi vanligvis et navn med liten bokstav og senket skrift, for eksempel a_i.

Den første måten er å liste opp alle verdiene i følgen. Det har vi allerede sett i forrige kapittel. Listen kan være både endelig og uendelig:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Merknad: Jeg er ikke sikker på hvilke parenteser som vanligvis brukes for følger, og jeg fant ingen felles regel. Jeg ville nok ikke brukt krøllparenteser, for de viser til mengder, der rekkefølgen ikke spiller noen rolle, mens den gjør det for følger.

Den andre muligheten er en formel for det n-te leddet i følgen. Følgen a_n inneholdt for eksempel alle partall. Det kan vi uttrykke med formelen

$$a_n=2n.$$

Den senkede skriften n forteller hvilket ledd i følgen vi regner ut. Hvis vi vil vite det første leddet, vil vi vite a₁, og hvis vi vil ha det sjuende, er det a₇. Det sjuende leddet regner vi ut ved å sette inn i formelen.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Denne skrivemåten er praktisk, fordi vi straks kan regne ut hvilket som helst ledd i følgen. En annen mulighet er å bruke en rekursiv definisjon. En rekursiv definisjon lar oss regne ut det neste leddet når vi kjenner det nåværende. Altså, hvis vi kjenner leddet a_n, kan vi regne ut leddet a_{n + 1}.

Hvis vi vil oppgi en følge rekursivt, må vi oppgi to opplysninger: hva det første leddet er, og en regel for å regne ut ledd nummer (n + 1). Hvis vi vil oppgi følgen av positive partall rekursivt, kan vi gjøre det slik:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Hvordan regner vi nå? Vi vet at a₁ er lik to. Nå setter vi inn én for n, og får a₂ ved å legge til to til a₁. Vi får fire, det andre partallet. Og så videre.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Rekursiv definisjon passer når vi trenger å lage en større del av følgen. Den passer derimot dårlig når vi vil regne ut et bestemt ledd. For å finne det hundrede partallet må vi først regne ut alle de 99 partallene som kommer foran det.

Den siste muligheten er å oppgi følgen ved hjelp av en graf.

Bare for å være tydelig: en følge trenger ikke å ha en enkel regel, og den trenger ikke å være en «fornuftig» rad med tall. Også denne raden med tall er en følge, selv om den ved første øyekast ikke har noen dypere mening:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Grafen til en følge

Følger har andre grafer enn vanlige reelle funksjoner. Siden definisjonsmengden er de naturlige tallene, består grafen av isolerte punkter.

Aritmetisk følge

En aritmetisk følge er en enkel følge der det er en fast differanse mellom leddene. Hvert ledd er for eksempel tre større enn det forrige, eller sytten mindre. Forskjellen mellom leddene i følgen kalles differansen (vi skriver d). I det første tilfellet er differansen tre, i det andre minus sytten, og for følgen av partall er differansen to. Med en formel kan vi skrive en aritmetisk følge slik:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

Den generelle formelen for det n-te leddet i en aritmetisk følge er så

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Som eksempel tar vi igjen partallene, der differansen er to og det første partallet også er to. Da får vi det andre partallet ved å legge til to til det første. Hvis vi legger til to en gang til, får vi det tredje partallet.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Hvis vi for eksempel vil regne ut det sjuende partallet, setter vi inn i den generelle formelen slik:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Hvordan finner vi ut om en gitt følge er aritmetisk? Vi trekker formelen for det n-te leddet fra formelen for ledd nummer (n + 1), og hvis vi får en konstant differanse, er følgen aritmetisk. La oss for eksempel se på følgen

$$a_n=2n+7.$$

Er denne følgen aritmetisk? Vi begynner med å skrive opp ledd nummer (n + 1):

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Nå trekker vi disse to uttrykkene fra hverandre:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Vi ser at vi fikk d = 2, så dette er en aritmetisk følge med differanse to.

Summen av leddene i en aritmetisk følge

Vi trenger ofte å finne summen av de første leddene i en aritmetisk følge. Hvordan kan vi gjøre det? Intuitivt kanskje omtrent slik. Vi holder oss til partallene. Hva er summen av de tre første partallene? Altså tallene 2, 4 og 6. Vi kan selvfølgelig legge dem sammen ett etter ett, men det vil vi ikke, vi vil ha en formel.

Vi endrer følgen slik: vi legger til to til det første leddet og trekker to fra det siste. Da får vi 4, 4, 4. Vi ser at vi har tre like tall, så det er nok å gange fire med antallet ledd, altså tre. Det gir 4 · 3 = 12.

Med fem ledd ser det slik ut: 2, 4, 6, 8, 10. Til de ytterste leddene legger vi til og trekker fra fire, til de nest ytterste to.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Igjen er det nok å gange 6 · 5 = 30. Hva ser vi? Vi ganger alltid antallet ledd i følgen med det midterste leddet. I følgen 2, 4, 6 var det midterste tallet fire, og i følgen 2, 4, 6, 8, 10 var det midterste tallet 6. Hvordan regner vi generelt ut det midterste leddet (kall det p)? Det er gjennomsnittet av det første og det siste leddet i følgen, altså

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

For eksempel for den andre følgen

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Den ferdige formelen for summen av de første n leddene i følgen a_n blir

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

Formelen gjelder også for et like antall ledd, selv om vi i utledningen bare brukte et odde antall ledd.

Hvordan finne differansen

Hvordan finner du differansen når du kjenner to ledd i følgen? Vi holder oss til partallene. La oss si at vi kjenner disse to leddene i følgen

$$a_3=6,a_7=14.$$

Hvordan regner vi ut differansen? Først finner vi forskjellen mellom disse to leddene:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Nå er det bare å dele dette resultatet på antallet steg mellom de to leddene vi kjenner, altså forskjellen mellom indeksene deres:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Differansen er to. Den ferdige formelen for å regne ut differansen d, når vi kjenner leddene a_k og a_l i følgen:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

Grafen til en aritmetisk følge viser konstant vekst eller konstant nedgang. De isolerte punktene i grafen ligger på en rett linje.

Geometrisk følge

En geometrisk følge skiller seg fra den aritmetiske ved at to naboledd ikke har samme differanse, men samme kvotient. Denne kvotienten kaller vi ikke differanse som i den aritmetiske følgen, men kvotient (vi skriver k). Vi kan for eksempel ha en følge der k = 10 og det første leddet er 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Generelt gjelder dermed formelen:

$$a_{n+1}=a_n\cdot k$$

Formelen for det generelle leddet i en geometrisk følge blir:

$$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$$

Det tredje leddet i den forrige følgen regner vi for eksempel ut slik:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot k^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot k^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Vi kan dele geometriske følger inn i to grupper, etter hvilken kvotient de har. Hvis absoluttverdien av kvotienten er mindre enn én, nærmer hele følgen seg null. En slik følge kalles konvergent. Hvis derimot absoluttverdien av kvotienten er minst én, nærmer ikke følgen seg null, og den kalles en divergent følge. For en konvergent følge gjelder en enkel formel for summen av hele rekken (den gjelder bare for konvergente følger, siden en divergent rekke ikke har noen endelig sum):

$$S_a=\frac{a_1}{1-k}.$$

Formelen for summen av de første i leddene i en geometrisk følge a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{k^i-1}{k-1}$$

Utledningen av formelen kan du lese på Wikipedia.

Grafen til en geometrisk følge, bortsett fra når kvotienten er lik én eller null, er en mengde av isolerte punkter som ikke ligger på en rett linje. En typisk graf til en geometrisk følge ser slik ut:

Hvis kvotienten er negativ, får grafen to grener: