Kvadratrot og n-te røtter

Roten er en delvis invers funksjon til potensen. Oftest arbeider vi med kvadratroten, som leter etter det tallet som gir det opprinnelige tallet vi tok roten av, når vi ganger det med seg selv.

Kvadratrot

For kvadratroten brukes tegnet $\sqrt{}$. For at vi ikke skal måtte skrive argumentet til roten i parentes, for eksempel slik: $\sqrt{}$(25), setter vi en vannrett strek over hele argumentet (uttrykket vi vil ta roten av), slik: $\sqrt{25}$.

I begynnelsen ser vi bare på kvadratroten av et reelt tall. Den kan vi definere slik:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Hvis du ganger kvadratroten av tallet a med kvadratroten av tallet a, får du tallet a. For tallet 9 er kvadratroten altså lik 3, fordi 3 · 3 = 9.

Det forrige uttrykket kan vi også skrive slik:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Det er bare en annen skrivemåte for den forrige multiplikasjonen, nemlig med en potens.

Det viktige er at denne likningen bare gjelder for de a-ene som ligger i definisjonsmengden til kvadratroten. Vi kan nemlig ikke ta kvadratroten av et negativt tall. Vi kan ta kvadratroten av hvilket som helst positivt tall, vi kan ta kvadratroten av null, men vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. Hvorfor går ikke det?

Anta at vi vil regne ut kvadratroten av −25. Vi har i grunnen to muligheter for hvilket tall vi skal velge. Enten et positivt eller et negativt. Hvis vi velger et positivt, har vi 5 · 5 = 25. Vi fikk riktignok 25, men vi vil ha −25. Vi prøver da −5, men etter multiplikasjonen har vi igjen 25. Når du ganger to negative tall, får du et positivt tall. Det samme gjelder når du ganger to positive tall. Du måtte gange −5 · 5 for å få −25, og det går ikke, for da ganger du to ulike tall, selv om de bare er ulike i fortegn. Derfor kan vi ikke regne ut kvadratroten av et negativt tall.

n-te røtter

På samme måte som vi kan opphøye et uttrykk i andre, tredje og fjerde, kan vi også ha tredje rot, fjerde rot og til slutt n-te rot av et reelt tall. Det skrives vanligvis med et lite tall oppe til venstre for rottegnet, slik:

$$\sqrt[5]{32}$$

Denne skrivemåten betyr femte rot av tallet trettito. Vi definerer n-te rot ved hjelp av n-te potens slik:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

Hvis vi setter inn to for n, får vi kvadratroten slik vi definerte den for en liten stund siden. Kort kan vi også definere det slik:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Det er vanlig at vi ikke trenger å skrive to for kvadratroten, så disse skrivemåtene er ekvivalente:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

For fjerde rot gjelder for eksempel:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Og et konkret eksempel:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Og omvendt gjelder 4 · 4 · 4 = 64.

Rot av et negativt tall

Vi vet allerede at det ikke finnes noen kvadratrot av et negativt tall, fordi a², der a er et reelt tall, aldri blir negativt. Men for høyere røtter ganger vi ikke bare to ganger, så det kan forekomme tilfeller der n-te rot av et negativt tall finnes. Hvordan er det da?

Problemet vårt var at når vi ganger et negativt tall to ganger, får vi et positivt tall. For resultatet −25 trengte vi produktet −5 · 5. Men hva skjer når vi ganger tre negative tall? Etter at vi har ganget de to første negative tallene, har vi et positivt tall. Men etter at vi har ganget med det siste negative tallet, har vi igjen et negativt tall. Ganger vi enda en gang (til sammen fire ganger), er vi tilbake blant de positive tallene.

Lærdommen er at hvis vi ganger et negativt tall n ganger, blir produktet positivt når n er et partall, og negativt når n er et oddetall. Av dette slutter vi at n-te rot av et negativt tall finnes når n er et oddetall. Eksempel:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Omskriving til potens

Røtter kan vi enkelt skrive om til potenser, og det gjør vi ofte, fordi det er lettere å arbeide med potenser. Følgende sammenheng gjelder:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Hvis vi har n-te rot av a, er det det samme som om vi opphøyde a i 1/n. Det kan komme godt med når du må skrive inn en høyere rot enn kvadratroten et sted. Ofte går ikke det direkte, men du kan skrive en brøk i eksponenten. Hvis du vil tegne grafen til fjerde rot, tegner du grafen til funksjonen

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Oftest brukes omskrivingen av kvadratroten:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Formler for røtter

Siden en rot lett kan skrives om til en potens, arver uttrykk med røtter formlene for generelle potenser. Følgende sammenhenger gjelder derfor:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Samtidig gjelder disse grunnleggende sammenhengene:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Å forenkle en rot

Å forenkle en rot er en teknikk som brukes for å gjøre røtter enklere, og den bruker en av de foregående formlene:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Noen uttrykk under rottegnet kan vi nemlig dele opp i et produkt, så skrive ut som to røtter og til slutt ta roten av én av disse. Et typisk eksempel kan være dette:

$$\sqrt{4x}$$

Dette uttrykket kan vi etter den forrige formelen skrive om slik:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Og nå kan vi ta kvadratroten av fire:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

På lignende måte kan vi skrive om et vanlig tall hvis vi vil beholde den eksakte formen. Et eksempel:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Kalkulator

Hvis du trenger å regne ut en rot, kan du bruke rotkalkulatoren vår 🧮.