Egenskaper ved funksjoner

En funksjon er en regel som til hvert tall x i definisjonsmengden M tilordner nøyaktig ett tall y i verdimengden N. Vi skriver vanligvis funksjonen på formen y = f(x), eller vi kan uttrykke den eksplisitt som f:y = x, der variabelen x er argumentet til funksjonen.

Definisjonsmengde og verdimengde

For hver funksjon må vi også bestemme definisjonsmengden. Det er mengden av alle tillatte verdier av argumentet x, altså alle verdier variabelen x kan ha. Definisjonsmengden til funksjonen f skriver vi D_f.

Et enkelt eksempel: for f:y = x er definisjonsmengden hele mengden av reelle tall, D_f = ℝ. Et annet eksempel: for $f:y=\frac{1}{x}$ er definisjonsmengden mengden av reelle tall, men denne gangen unntatt null, fordi du ikke kan dele på null og uttrykket ville da ikke gi mening: D_f = ℝ ∖ {0}.

Verdimengden er tilsvarende mengden av alle tillatte y, altså mengden av alle verdier funksjonen f kan ta. Igjen et enkelt eksempel: la oss ha funksjonen f:y = x. Her er verdimengden ℝ, fordi y kan ha en hvilken som helst verdi fra denne mengden. La oss så ta en annen funksjon, f:y = |x| (absoluttverdi). Her er verdimengden intervallet [0, → ⟩, fordi y aldri kan bli for eksempel minus fem. Det er umulig etter definisjonen av absoluttverdi.

Hvis vi holder oss til begrepet avbildning fra en mengde A til en mengde B, er mengden A definisjonsmengden, og mengden B er målmengden funksjonen avbilder til. Verdimengden er en delmengde av målmengden.

Monotoni

Monotoni er en egenskap som sier om funksjonen på et gitt intervall er strengt voksende, strengt avtagende, ikke-voksende, ikke-avtagende, konstant eller ingen av delene.

Den beste måten å lese av denne egenskapen på er fra grafen. Hvis du har inntrykk av at grafen synker, er funksjonen avtagende, og hvis funksjonen stiger, er den voksende. Så enkelt :-). Definisjonene ser slik ut: la oss ha en funksjon f og la x₁, x₂ ∈ D_f. Da sier vi at

• funksjonen f er strengt voksende hvis x₁ < x₂ gir f(x₁) < f(x₂).
• funksjonen f er strengt avtagende hvis x₁ < x₂ gir f(x₁) > f(x₂). (Definisjonen ser lik ut, men i det første tilfellet står det < mellom funksjonsverdiene, og i det andre >.)

Se på grafen til den strengt voksende funksjonen f(x) = ln(x):

Vi ser at når vi velger x₁, x₂ slik at x₁ < x₂, gjelder også f(x₁) < f(x₂). Se nå på en annen graf, denne gangen til funksjonen $f(x)=\frac{1}{x}$, som er strengt avtagende for eksempel på intervallet ⟨0, → ⟩:

Her ser vi at når x₁ < x₂, gjelder det motsatte for funksjonsverdiene: f(x₁) > f(x₂). Selv om x₁ er mindre enn x₂, «gir» det en større funksjonsverdi.

Her er de resterende definisjonene:

• Funksjonen f er ikke-avtagende hvis x₁ < x₂ gir f(x₁) ≤ f(x₂). (Definisjonen er lik den for strengt voksende funksjoner, men vi tillater at funksjonen har en konstant verdi på et område.)
• Funksjonen f er ikke-voksende hvis x₁ < x₂ gir f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funksjonen f er konstant hvis verdimengden består av bare ett element, altså hvis f(x₁) = f(x₂) for alle x₁, x₂.

Et eksempel på en ikke-voksende funksjon er funksjonen f(x) = |x|−x:

Legg merke til at funksjonen synker på intervallet ⟨ ← , 0⟩, men på resten av definisjonsmengden har den den konstante funksjonsverdien null. På hele definisjonsmengden er funksjonen altså ikke-voksende.

Like og odde funksjoner

Noen funksjoner kan under visse betingelser være like eller odde. Det enkleste er å kjenne grafen til funksjonen, for der ser du det raskest. En like funksjon er symmetrisk om y-aksen, mens en odde funksjon er symmetrisk om origo (0, 0). Et eksempel på en like funksjon er y = x², og en odde funksjon er for eksempel y = 2x. Definisjonene ser slik ut: en funksjon f er

• like hvis f(x) = f(−x) for alle x ∈ D_f,
• odde hvis −f(x) = f(−x) for alle x ∈ D_f.

Like og odde funksjoner har sin egen artikkel, Like og odde funksjoner.

Injektiv funksjon

En injektiv funksjon kjenner vi igjen på at alle funksjonsverdiene er unike, og ingen funksjonsverdi gjentar seg. Definisjon:

Funksjonen f er injektiv hvis det for alle x₁, x₂ ∈ D_f gjelder at

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Hvis vi velger to ulike x fra definisjonsmengden til funksjonen, må funksjonsverdiene deres alltid være ulike.

Grafisk kan du som alltid se det helt enkelt. Hvis du legger en linje parallell med x-aksen gjennom grafen, må den skjære grafen i høyst ett punkt. Et eksempel på en injektiv funksjon er den lineære funksjonen y = 3x. Uansett hvilken linje du tar, skjærer den grafen i nøyaktig ett punkt. Det motsatte er for eksempel funksjonen sinus, hvis graf danner små bølger. Hvis du legger en linje parallell med x-aksen som skjærer y-aksen i punktet $\frac{1}{2}$, finner du uendelig mange skjæringspunkter med grafen, og derfor er ikke funksjonen injektiv.

Begrenset funksjon

Funksjoner kan være oppad begrenset, nedad begrenset eller begrenset både oppad og nedad, og en slik funksjon kaller vi rett og slett begrenset. En funksjon f er oppad begrenset hvis vi finner et reelt tall A som er større enn alle funksjonsverdiene til f. Tilsvarende for en nedad begrenset funksjon. Definisjonene er altså:

• Funksjonen f er oppad begrenset hvis det finnes et A ∈ ℝ slik at A > f(x) for alle x ∈ D_f.
• Funksjonen f er nedad begrenset hvis det finnes et A ∈ ℝ slik at A < f(x) for alle x ∈ D_f.

Grafisk kan vi forestille oss det slik at vi leter etter en linje parallell med x-aksen (altså en vannrett linje) som ligger over eller under hele grafen til funksjonen.

På figuren ser vi grafen til funksjonen f(x) = x⁴, som er nedad begrenset. Legg merke til at vi slett ikke trenger å finne det A-et som ligger «nærmest» grafen. Det holder å plassere linjen hvor som helst under grafen.

Minimum og maksimum

Funksjonen f har maksimum i et punkt M i definisjonsmengden hvis funksjonsverdien i dette punktet M er den høyeste av alle funksjonsverdiene funksjonen har. Tilsvarende for minimum. Definisjoner:

• Funksjonen f har globalt maksimum i punktet M ∈ D_f hvis f(x) ≤ f(M) for alle x ∈ D_f. Kort sagt er funksjonsverdien størst i punktet M. Hvis det finnes bare ett maksimum, kaller vi det et strengt maksimum.
• Funksjonen f har globalt minimum i punktet m ∈ D_f hvis f(x) ≥ f(m) for alle x ∈ D_f. Funksjonsverdien er minst i punktet m.

På grafen finner du nok maksimum og minimum ganske lett. Du ser bare etter hvor funksjonen ligger lavest eller høyest. En funksjon trenger selvfølgelig verken å ha minimum eller maksimum, eller den kan ha bare minimum eller bare maksimum. En funksjon kan også ha bare lokale ekstremalpunkter og ikke noe ekstremalpunkt på hele definisjonsmengden.

Hvis du trenger å finne minimum og maksimum, bruker du den deriverte. Den nøyaktige framgangsmåten er beskrevet i artikkelen drøfting av funksjon.

Eksempel

Bestem egenskapene til funksjonen ut fra grafen nedenfor:

• Definisjonsmengden til denne funksjonen er intervallet [−4, 4].
• Verdimengden er intervallet [−2, 4].
• Funksjonen ser kanskje ut til å være strengt voksende, men i området [0, 2] har funksjonen en konstant verdi, så den kan ikke være strengt voksende. Likevel synker funksjonen ikke på noe intervall, så den er ikke-avtagende.
• Grafen til funksjonen er verken symmetrisk om y-aksen eller om origo i koordinatsystemet, så funksjonen er verken like eller odde.
• Er funksjonen injektiv? Vi har allerede sagt at funksjonen har en konstant verdi i området [0, 2], så funksjonen kan ikke være injektiv. For ulike x har den samme y.
• Funksjonen er begrenset både oppad og nedad. Vi kan finne en vannrett linje som ligger over hele grafen og en som ligger under hele grafen.
• Den gitte funksjonen har også minimum og maksimum. Minimum har den i punktet m = −4 og maksimum i punktet M = 4.