Likningssett

I praksis støter vi ofte på tilfeller der vi ikke regner på én likning, men på to likninger samtidig (eller enda flere). Først viser vi hvordan vi løser et slikt likningssett med innsettingsmetoden. For å løse likningssett ved hjelp av matriser kan du gå til artikkelen om systemer av lineære likninger.

Grunnleggende

Et likningssett består av flere likninger som vi løser sammen. I et likningssett har vi vanligvis også flere variabler enn én, og vi prøver å finne en kombinasjon av tall som gjør at alle likningene gir mening når vi setter dem inn for alle variablene.

Et eksempel på et likningssett kan være dette settet:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Løsningen av dette settet skal være et par (eller en mengde av par) av tall som vi setter inn for variablene a og b, slik at begge likningene fortsatt stemmer. På øyemål ser vi at variabelen a må være lik −b for at likningen a + b = 0 skal være oppfylt. Når vi har denne kunnskapen, ser vi lett av den andre likningen at a = 10 og b = −10. Etter innsetting får vi:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Så, løsningen på øyemål har vi bak oss, nå går vi løs på noen funksjonelle algoritmer for å løse likningssett.

Innsettingsmetoden

I innsettingsmetoden uttrykker vi en av de ukjente i den ene likningen og setter så dette resultatet inn i den andre likningen. Til å begynne med trenger vi altså et likningssett. For eksempel dette:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Dette er et enkelt likningssett med to likninger og to ukjente. Oppgaven vår er å uttrykke variablene x og y slik at begge likningene gir mening. Fra den første likningen isolerer vi y. Vi tar altså bare den første likningen og isolerer y.

$4 x + 2 y = 6$

Først trekker vi fra 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Vi deler på to:

$y = 3 - 2 x$

Nå vet vi hva y er lik. Dette resultatet kan vi sette inn for variabelen y i den andre likningen. I den andre likningen skriver vi altså 3 − 2x i stedet for y. Hva oppnår vi med det? Vi oppnår at vi i den andre likningen ikke har to variabler, men bare én, fordi vi i stedet for variabelen y setter inn et uttrykk som bare inneholder variabelen x. Vi setter altså inn:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 / y = 3 - 2 x \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Nå ganger vi bare ut parentesen og trekker sammen det som kan trekkes sammen:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Nå kjenner vi verdien av x, den er lik to. Det gjenstår å regne ut verdien av y. Det gjør vi ved å sette den allerede kjente verdien av x inn i en likning som inneholder begge variablene — både x og y. Vi kan for eksempel velge den aller første likningen. Vi setter inn slik:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Dermed har vi løst likningssettet. Likningssettet har én eneste løsning, og den er x = 2 og y = −1. Hvis du vil kontrollere dette resultatet, setter du det bare inn i begge likningene. Innsetting i den første likningen:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 / x = 2, y = - 1 \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Og innsetting i den andre likningen:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 / x = 2, y = - 1 \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Addisjonsmetoden

Denne metoden liker jeg bedre, men det avhenger selvfølgelig av det konkrete eksempelet. Den passer ikke alltid. Prinsippet i addisjonsmetoden er at addisjon av likninger er en ekvivalent omforming når vi løser likningssett. Vi adderer likninger ved å legge sammen venstre side av den ene likningen med venstre side av den andre likningen og så legge sammen høyresidene av likningene. Generelt har vi et slikt likningssett:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Summen av disse likningene ville gitt oss én eneste likning definert slik:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Vi la sammen venstresidene for seg og høyresidene for seg. Men hva er målet vårt? Hvis vi legger sammen to likninger og det står igjen to variabler, har vi ikke hjulpet oss selv mye. Derfor prøver vi å få den ene variabelen til å forsvinne når vi legger sammen begge likningene, det vil si at de utligner hverandre. Vi prøver altså å få summen av ett av parene av funksjoner, enten f eller g, til å bli null:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Hvordan oppnår vi det? Likningssettet inneholder vanlige likninger som vi kan bruke ekvivalente omforminger av likninger på, slik vi kjenner dem fra vanlige typer likninger. Derfor kan vi gange en av likningene med et tall, og likningen endrer seg ikke. Vi prøver altså å løse det forrige likningssettet med addisjonsmetoden. Oppgaven er altså den samme:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Hvis vi la sammen likningene med en gang, ville begge variablene bli stående:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Derfor må vi først gjøre noen omforminger. Vi prøver å la variabelen y «forsvinne». Til det trenger vi at koeffisienten foran y er lik i begge likningene, bortsett fra fortegnet — det må være motsatt. Vi leter altså etter det minste felles multiplum, som er 6. En enkel framgangsmåte er å gange koeffisientene: to ganger tre er seks — tallet seks er altså helt sikkert delelig med begge tallene (merk: Denne framgangsmåten sikrer ikke det minste felles multiplum, men finner et tall som er delelig med begge koeffisientene).

Nå prøver vi å få seks foran y i hver likning. Den første likningen ganger vi altså med tre, den andre med to:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 / \cdot 3 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 / \cdot 2 \end{array}$

Vi får:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Nå legger vi sammen likningene:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Vi fikk altså én likning med én ukjent, som vi allerede lett kan løse:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Vi ser at vi fikk det samme resultatet som da vi brukte den forrige metoden, innsettingsmetoden. Nå ville vi bare igjen satt inn x i en likning og fått resultatet y = −1. Prøven ville også foregått helt likt.

Antall løsninger

Et likningssett trenger ikke ha bare nøyaktig én løsning. Det kan også ha uendelig mange løsninger, eller omvendt ingen løsning. Bare kort om når det skjer. Hvis vi har to likninger med to ukjente og vi kan uttrykke den ene av disse likningene ved hjelp av den andre ved å bruke noen ekvivalente omforminger på den, har likningssettet uendelig mange løsninger. Et eksempel er likningssettet

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Vi ser at hvis vi ganger den første likningen med to, får vi nøyaktig den andre likningen. Den andre likningen gir oss altså ingen «ny informasjon» om likningssettet, så den er i praksis overflødig. Alt i alt viser det seg ved at en hvilken som helst løsning av likningen

$x + y = 2$

samtidig er en løsning av hele likningssettet. For eksempel er parene (1, 1) eller (−3, 5) løsninger av den første likningen og samtidig av hele likningssettet.

Likningssettet har derimot ingen løsning hvis vi har noen motstridende likninger i settet som ikke kan gjelde samtidig. For eksempel:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Det kan ikke samtidig gjelde at summen x + y er lik både to og fire, derfor har likningssettet ingen løsning. Noen flere eksempler:

Første eksempel

Regn ut følgende likningssett med to likninger og to ukjente:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Etter et flyktig blikk på likningssettet ser vi at det er en kandidat for addisjonsmetoden. Koeffisienten foran x er to ganger så stor i den andre likningen som i den første, og koeffisienten foran y er tre ganger så stor i den andre likningen. Det holder altså å gange den første likningen med enten minus to eller minus tre og legge sammen likningene. Vi prøver å fjerne for eksempel variabelen x, så vi ganger den første likningen med −2. Vi får:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Vi legger sammen disse to likningene og får

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Vi har det første resultatet av likningssettet vårt. Dette resultatet setter vi inn i en likning, vi kan igjen sette det inn i den aller første likningen:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 / y = - 14 \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Vi har altså løsningen av likningssettet, x = 9 og y = −14.

Andre eksempel

Regn ut følgende likningssett med to likninger og to ukjente:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Dette ser litt vilt ut, men det går. Aller først må vi gange ut parentesene, uten det kommer vi ikke særlig langt.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Nå omformer vi likningene til en mer brukbar form, vi flytter variablene over på venstre side av likningen og konstantleddene over på høyre side, og trekker fra det som kan trekkes fra.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Nå har vi fått et ganske brukbart likningssett ut av de stygge likningene, og vi kan bruke en av de klassiske framgangsmåtene. Vi kan for eksempel gange den andre likningen med to og legge den sammen med den første likningen. Etter at vi har ganget den andre likningen med to, får vi:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Nå legger vi sammen begge likningene med den klassiske addisjonsmetoden:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Utmerket, nå kjenner vi det ene resultatet. Dette resultatet setter vi inn i en av likningene og regner ut y. Vi kan sette inn for eksempel i likningen 2x− 3y = −13 og får:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 / x = 4 \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Nå har vi det fullstendige resultatet av likningssettet — det har løsningen x = 4 og y = 7.

« Forrige: Trigonometriske ulikheter

Neste: Tall »