Assosiativ lov

Assosiativitet er en egenskap ved operasjoner som for eksempel addisjon eller multiplikasjon. Se nøye på disse to skrivemåtene for addisjon:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

Uttrykkene skiller seg bare ved hvor parentesen står. Men er resultatene forskjellige? Begge uttrykkene gir det samme resultatet, summen er alltid 6. Hvis plasseringen av parentesene ikke har noen betydning for resultatet, sier vi at operasjonen er assosiativ. Mer nøyaktig kan vi skrive at operasjonen a ∘ b er assosiativ hvis det gjelder at

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

En annen operasjon som er assosiativ, er multiplikasjon, for det gjelder at

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operasjoner som ikke er assosiative

Subtraksjon er ikke assosiativ. Som eksempel kan vi ta uttrykket (10 − 4) − 3. Først regner vi ut differansen i parentesen og får 6 − 3, som er lik 3. Men hvis vi prøver å regne ut 10 − (4 − 3), regner vi igjen først ut innholdet i parentesen og får 10 − 1, som er 9. Subtraksjon er altså ikke en assosiativ operasjon.

På tilsvarende måte er divisjon ikke assosiativ. Som eksempel tar vi uttrykket (64 / 4) / 2. Først regner vi ut parentesen og får 16/2, som er 8. Men hvis vi setter parentesen et annet sted, får vi 64 / (4 / 2), og når vi har regnet ut parentesen, har vi 64 / 2, som er 32. Divisjon er altså ikke assosiativ.

En annen typisk operasjon som ikke er assosiativ, er potens:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Assosiativitet gjelder én operasjon!

Pass på at assosiativitet alltid gjelder én operasjon. Hvis vi har et uttrykk med tre tall, men ikke den samme operasjonen hele veien, kan vi ikke bruke den assosiative regelen. Eksempel:

$$(1+2)\cdot 3$$

uttrykket inneholder to operasjoner — addisjon og multiplikasjon. Begge operasjonene er assosiative hver for seg, men likevel kan vi ikke bruke den assosiative regelen her, vi kan ikke skrive om til

$$1+(2\cdot 3)$$

fordi uttrykket inneholder to ulike operasjoner. For at vi skal kunne bruke den assosiative regelen, måtte begge operasjonene være addisjon eller begge multiplikasjon.

Snitt og union

Snittet av mengder er assosiativt. Eksempel:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

ville vi først skrevet om ved å regne ut snittet av mengdene i parentesen til

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

Og snittet av disse mengdene er lik {1}. Hvis vi byttet parentesene, ville vi fått

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

og etter å ha regnet ut parentesen:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

Og igjen ville vi fått {1}. Vi ser at plasseringen av parentesene ikke spiller noen rolle, og derfor er snitt av mengder assosiativt. På tilsvarende måte er union av mengder assosiativ.

Sammensetning av ord / konkatenering

Tenk deg at vi hadde en addisjonsoperasjon for deler av ord, og at den rett og slett betydde å sette ord sammen. Altså ville «data» + «maskin» være lik ordet «datamaskin». En slik operasjon ville vært assosiativ. Hvis vi for eksempel skrev («sol» + «krem») + «tube», ville vi først ved å legge sammen parentesen fått «solkrem» + «tube», og det ville gitt ordet «solkremtube». Hvis vi byttet parentesene, «sol» + («krem» + «tube»), ville vi etter å ha lagt sammen i parentesen fått «sol» + «kremtube», og det ville igjen gitt ordet «solkremtube».

Maksimum eller minimum er assosiativt

La oss tenke oss en operasjon a ∨ b som gir oss det største av to tall. En slik operasjon ville vært assosiativ. For eksempel ville vi skrevet om (5 ∨ 10) ∨ 7 til 10 ∨ 7, og det ville vært lik 10. Ti er det største av de tre tallene. Hvis vi flyttet parentesene, ville vi fått 5 ∨ (10 ∨ 7), etter omskriving 5 ∨ 10, som igjen er 10.

Minimum ville oppført seg helt likt.