Objem jehlanu

Jehlan je těleso, které znáte z egyptských pyramid. Dole má podstavu, nejčastěji čtverec, a z jejích hran stoupají trojúhelníkové stěny, které se nahoře sejdou v jednom bodě, ve vrcholu. Objem jehlanu prozradí, kolik písku by se vešlo do takové pyramidy, kdyby byla dutá.

Jehlan s podstavou S_p a výškou v

Červeně je vybarvená podstava, její obsah budeme značit S_p. Modře je vyznačená výška jehlanu v — vzdálenost vrcholu od podstavy. Výška stojí na podstavě kolmo, takže ji neměříme podél šikmé stěny, ale svisle dolů z vrcholu.

Vzorec pro objem jehlanu

Pokud hledáte jen vzorec, pak objem jehlanu V, jehož podstava má obsah S_p a který má výšku v, vypočítáte jako

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{p} \cdot v$

Nejběžnější je pravidelný čtyřboký jehlan, tedy jehlan se čtvercovou podstavou o straně a. Obsah podstavy je pak obsah čtverce S_p = a² a vzorec vypadá takto:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot v$

Například jehlan se stranou podstavy a = 6 a výškou v = 5 má objem

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Proč je tam jedna třetina?

Bez té třetiny by vzorec S_p · v dával objem hranolu se stejnou podstavou a stejnou výškou. Jehlan je tedy třetina hranolu. Proč zrovna třetina, se dá krásně ukázat na krychli.

Mějme krychli o hraně a a v ní jeden roh, na obrázku oranžový. Z něj teď natáhneme jehlany ke třem stěnám krychle, které se oranžového rohu nedotýkají: ke spodní, k zadní a k pravé. Vzniknou tři jehlany, červený, modrý a zelený. Dohromady vyplní celou krychli, žádné místo nezbude a žádné se nepřekrývá:

Krychle rozložená na tři shodné jehlany se společným vrcholem

Všechny tři jehlany jsou stejné, jen každý leží jinak. Každý má za podstavu jednu stěnu krychle, tedy čtverec s obsahem a², a každý má výšku a, protože jeho vrchol je od protější stěny vzdálený právě o hranu krychle. Objem krychle je a³ a rozdělí se rovným dílem mezi tři jehlany, takže každý má objem

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot S_{p} \cdot v$

A to je přesně náš vzorec.

Krychle je samozřejmě jen jeden konkrétní případ, ale třetina vydrží i jinde. Když krychli roztáhneme do výšky nebo do šířky, stane se z ní kvádr a stejně se roztáhnou i všechny tři jehlany — každý z nich je pořád třetina kvádru. A když jehlan nakloníme, jeho objem se nezmění. Poskládejme si ho v duchu z tenkých destiček, jako komín ze stále menších čtverečků. Když destičky posuneme do strany, vznikne šikmý jehlan, ale destičky jsou pořád tytéž a zabírají stejně velký prostor. Tomuhle triku se říká Cavalieriho princip. Funguje to i pro jehlany s různě tvarovanou podstavou: mají-li dva jehlany stejně velkou podstavu a stejnou výšku, mají destičky v každé výšce stejný obsah, ať je podstava čtverec, nebo trojúhelník, a tak mají i stejný objem. Proto vzorec

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{p} \cdot v$

platí pro úplně každý jehlan, rovný i šikmý, se čtvercovou, obdélníkovou i trojúhelníkovou podstavou. Jen pozor na šikmý jehlan: výška je u něj pořád svislá vzdálenost vrcholu od podstavy, ne délka šikmé hrany.

Na stejnou třetinu narazíte i u objemu kužele: kužel je třetina válce se stejnou podstavou a výškou. Kužel se totiž dá chápat jako jehlan, který má v podstavě místo čtverce kruh.

Příklad: Cheopsova pyramida

Největší egyptská pyramida, Cheopsova v Gíze, měla původně čtvercovou podstavu se stranou zhruba 230 metrů a byla vysoká zhruba 146 metrů. Dnes je asi o osm metrů nižší, protože jí chybí špička a vnější obklad. Kolik kamene se do ní vešlo?

Nejdřív podstava, to je čtverec o straně 230 metrů:

$S_{p} = 230^{2} = 52 900$

Podstava zabírá 52 900 metrů čtverečních, to je zhruba sedm fotbalových hřišť. Z toho už objem dopočítáme:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52 900 \cdot 146$

Vynásobíme:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7 723 400$

Zbývá vydělit třemi:

$V \approx 2 574 467$

Cheopsova pyramida má objem asi 2,6 milionu metrů krychlových. Kdybychom ji rozebrali a kamením plnili olympijské bazény, každý dlouhý 50 metrů, široký 25 a hluboký 2, tedy o objemu 2 500 metrů krychlových, naplnili bychom jich přes tisíc.

Zapomenutá třetina se tu pěkně prodraží. Kdo ji vynechá, dostane přes 7,7 milionu metrů krychlových a postaví v duchu o dvě pyramidy navíc.

Když neznáme výšku

Často ale výšku jehlanu nemáme po ruce, zato známe délku boční hrany s — to je hrana, která vede z rohu podstavy do vrcholu. Tak je to třeba u skutečné stavby: k hraně se s metrem dostanete snáz než ke svislé výšce uvnitř.

Výška v, boční hrana s a polovina úhlopříčky podstavy (červeně) tvoří pravoúhlý trojúhelník, na obrázku je vybarvený zeleně:

Výška v, polovina úhlopříčky a boční hrana s tvoří pravoúhlý trojúhelník

Výška dopadá z vrcholu do středu čtverce a vzdálenost od středu k rohu je právě polovina úhlopříčky čtverce. Úhlopříčka čtverce se stranou a je dlouhá $u = a \cdot \sqrt{2}$ . Boční hrana s je přepona trojúhelníku, takže podle Pythagorovy věty platí

$s^{2} = v^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

Odtud vyjádříme výšku:

$v = \sqrt{s^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Příklad: Před pařížským Louvrem stojí skleněná pyramida se čtvercovou podstavou o straně 35,4 metru a s bočními hranami dlouhými asi 33,1 metru. Kolik vzduchu je uvnitř?

Začneme úhlopříčkou podstavy:

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Polovina úhlopříčky je tedy přibližně 25,03 metru. Ve vzorci pro výšku to vypadá takto:

$v = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Umocníme:

$v = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

A odmocníme:

$v \approx 21, 66$

Pyramida je vysoká asi 21,66 metru. Sedí to, oficiálně uváděná výška je 21,64 metru. S výškou v ruce spočítáme objem:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Uvnitř pyramidy je zhruba 9 000 metrů krychlových vzduchu. Takových pyramid by se do Cheopsovy vešlo skoro tři sta.

Jehlan s jinou podstavou

Podstava jehlanu nemusí být čtverec. Vzorec $V = \frac{1}{3} \cdot S_{p} \cdot v$ funguje pro jakoukoliv podstavu, jen se pokaždé jinak spočítá její obsah S_p.

Zkuste si pilou uříznout z dřevěného kvádru roh šikmým řezem, který vede přes tři rohy s ním sousedící. Odřezek je trojboký jehlan: jeho podstava je pravoúhlý trojúhelník a výškou je svislá hrana kvádru, která stojí na podstavě kolmo.

Trojboký jehlan s pravoúhlou podstavou o odvěsnách a, b a výškou v

Řekněme, že odvěsny podstavy měří a = 8 cm a b = 6 cm a výška je v = 9 cm. Nejdřív zjistíme obsah trojúhelníku v podstavě. U pravoúhlého trojúhelníku stačí vynásobit odvěsny a vydělit dvěma:

$S_{p} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Obsah podstavy máme, takže objem vyjde:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Z kvádru jsme uřízli 72 centimetrů krychlových dřeva.

Pro jistotu si výsledek zkontrolujeme. Tenhle jehlan se dá položit i na jinou stěnu: levá stěna je taky pravoúhlý trojúhelník, tentokrát s odvěsnami b = 6 cm a v = 9 cm, a kolmo na ní stojí hrana a o délce 8 cm, která je teď výškou. Obsah podstavy je $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ a objem

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Sedí. Jehlan je pořád tentýž, jen leží jinak, a tak musí vyjít stejný objem.

Kalkulačka

Objem pravidelného čtyřbokého jehlanu si můžete spočítat i tady. Stačí zadat stranu podstavy a výšku, jednotky jde u každého pole přepnout.

Viz také

Kapitoly: Objem koule, Objem válce, Objem kužele, Objem krychle, Objem kvádru, Objem hranolu, Objem jehlanu

« Předchozí: Objem hranolu

Další: Kuželosečky »