Rumfang af pyramide

En pyramide er et legeme, som du kender fra de egyptiske pyramider. Forneden har den en grundflade, oftest et kvadrat, og fra grundfladens kanter stiger der trekantede sideflader op, som mødes foroven i ét punkt, i spidsen. Rumfanget af en pyramide afslører, hvor meget sand der kunne være i sådan en pyramide, hvis den var hul.

Med rødt er grundfladen markeret, dens areal vil vi betegne A_g. Med blåt er pyramidens højde h markeret — afstanden fra spidsen til grundfladen. Højden står vinkelret på grundfladen, så vi måler den ikke langs den skrå sideflade, men lodret ned fra spidsen.

Formel for rumfanget af en pyramide

Hvis du kun skal bruge formlen, så beregner du rumfanget V af en pyramide, hvis grundflade har arealet A_g, og som har højden h, sådan her

$$V=\frac{1}{3}\cdot A_{\mathrm{g}}\cdot h$$

Den almindeligste er den regulære firesidede pyramide, altså en pyramide med en kvadratisk grundflade med siden a. Grundfladens areal er så arealet af et kvadrat A_g = a², og formlen ser sådan ud:

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$$

For eksempel har en pyramide med grundfladens side a = 6 og højden h = 5 rumfanget

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 180=60$$

Hvorfor er der en tredjedel?

Uden den tredjedel ville formlen A_g · h give rumfanget af et prisme med samme grundflade og samme højde. Pyramiden er altså en tredjedel af prismet. Hvorfor lige en tredjedel, kan man vise smukt på en terning.

Lad os tage en terning med kanten a og i den ét hjørne, på figuren orange. Fra det trækker vi nu pyramider til de tre sideflader af terningen, som ikke rører det orange hjørne: til den nederste, den bagerste og den højre. Der opstår tre pyramider, en rød, en blå og en grøn. Sammen udfylder de hele terningen, der bliver ikke noget rum tilovers, og ingen overlapper:

Alle tre pyramider er ens, de ligger bare forskelligt. Hver har som grundflade én sideflade af terningen, altså et kvadrat med arealet a², og hver har højden a, fordi dens spids ligger præcis en terningkant fra den modstående sideflade. Terningens rumfang er a³, og det deles lige mellem de tre pyramider, så hver har rumfanget

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot A_{\mathrm{g}}\cdot h$$

Og det er præcis vores formel.

Terningen er selvfølgelig kun ét bestemt tilfælde, men tredjedelen holder også andre steder. Når vi strækker terningen i højden eller i bredden, bliver den til en kasse, og på samme måde strækkes alle tre pyramider — hver af dem er stadig en tredjedel af kassen. Og når vi vipper pyramiden, ændrer dens rumfang sig ikke. Lad os i tankerne bygge den op af tynde skiver, som en skorsten af stadig mindre kvadrater. Når vi forskyder skiverne til siden, opstår der en skæv pyramide, men skiverne er stadig de samme og fylder lige så meget. Det trick hedder Cavalieris princip. Det virker også for pyramider med forskelligt formede grundflader: har to pyramider lige store grundflader og samme højde, har skiverne i hver højde samme areal, uanset om grundfladen er et kvadrat eller en trekant, og så har de også samme rumfang. Derfor gælder formlen

$$V=\frac{1}{3}\cdot A_{\mathrm{g}}\cdot h$$

for enhver pyramide, ret eller skæv, med kvadratisk, rektangulær eller trekantet grundflade. Pas bare på ved en skæv pyramide: højden er her stadig den lodrette afstand fra spidsen til grundfladen, ikke længden af den skrå kant.

Den samme tredjedel støder du på ved rumfanget af en kegle: en kegle er en tredjedel af en cylinder med samme grundflade og højde. En kegle kan nemlig opfattes som en pyramide, der har en cirkelskive i grundfladen i stedet for et kvadrat.

Eksempel: Keopspyramiden

Den største egyptiske pyramide, Keopspyramiden i Giza, havde oprindeligt en kvadratisk grundflade med siden cirka 230 meter og var cirka 146 meter høj. I dag er den omkring otte meter lavere, fordi toppen og den ydre beklædning mangler. Hvor meget sten var der plads til i den?

Først grundfladen, det er et kvadrat med siden 230 meter:

$$A_{\mathrm{g}}={230}^2=52.900$$

Grundfladen fylder 52.900 kvadratmeter, det er cirka syv fodboldbaner. Ud fra det kan vi beregne rumfanget:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 52.900\cdot 146$$

Vi ganger:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 7.723.400$$

Tilbage er at dividere med tre:

$$V\approx 2.574.467$$

Keopspyramidens rumfang er cirka 2,6 millioner kubikmeter. Hvis vi skilte den ad og fyldte stenene i olympiske svømmebassiner, hvert 50 meter langt, 25 bredt og 2 dybt, altså med et rumfang på 2500 kubikmeter, ville vi fylde over tusind af dem.

Den glemte tredjedel bliver her dyr. Den, der udelader den, får over 7,7 millioner kubikmeter og bygger i tankerne to pyramider for meget.

Når vi ikke kender højden

Ofte har vi dog ikke pyramidens højde ved hånden, men vi kender længden af sidekanten s — det er den kant, der går fra et hjørne af grundfladen op til spidsen. Sådan er det for eksempel ved en rigtig bygning: man kommer lettere til kanten med et målebånd end til den lodrette højde indeni.

Højden h, sidekanten s og halvdelen af grundfladens diagonal (rød) danner en retvinklet trekant, som på figuren er farvet grøn:

Højden falder fra spidsen ned i kvadratets midte, og afstanden fra midten til hjørnet er præcis halvdelen af kvadratets diagonal. Diagonalen i et kvadrat med siden a er $d=a\cdot \sqrt{2}$ lang. Sidekanten s er trekantens hypotenuse, så ifølge Pythagoras' sætning gælder

$$s^2=h^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2.$$

Herfra isolerer vi højden:

$$h=\sqrt{s^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}$$

Eksempel: Foran Louvre i Paris står en glaspyramide med en kvadratisk grundflade med siden 35,4 meter og med sidekanter, der er cirka 33,1 meter lange. Hvor meget luft er der indeni?

Vi begynder med grundfladens diagonal:

$$d=a\cdot \sqrt{2}=35,4\cdot \sqrt{2}\approx 50,06$$

Halvdelen af diagonalen er altså cirka 25,03 meter. I formlen for højden ser det sådan ud:

$$h=\sqrt{33,1^2-25,{03}^2}$$

Vi kvadrerer:

$$h=\sqrt{1095,61-626,50}=\sqrt{469,11}$$

Og uddrager kvadratroden:

$$h\approx 21,66$$

Pyramiden er cirka 21,66 meter høj. Det passer, den officielt oplyste højde er 21,64 meter. Med højden i hånden beregner vi rumfanget:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 35,4^2\cdot 21,66=\frac{1}{3}\cdot 1253,16\cdot 21,66\approx 9048$$

Inde i pyramiden er der cirka 9000 kubikmeter luft. Af sådanne pyramider kunne der være næsten tre hundrede i Keopspyramiden.

Pyramide med en anden grundflade

Pyramidens grundflade behøver ikke at være et kvadrat. Formlen $V=\frac{1}{3}\cdot A_{\mathrm{g}}\cdot h$ virker for en hvilken som helst grundflade, grundfladens areal A_g beregnes bare forskelligt hver gang.

Prøv med en sav at save et hjørne af en kasseformet træklods med et skråt snit, der går gennem de tre hjørner, som støder op til det. Det afsavede stykke er en trekantet pyramide: dens grundflade er en retvinklet trekant, og højden er klodsens lodrette kant, som står vinkelret på grundfladen.

Lad os sige, at grundfladens kateter måler a = 8 cm og b = 6 cm, og højden er h = 9 cm. Først finder vi arealet af trekanten i grundfladen. Ved en retvinklet trekant er det nok at gange kateterne og dividere med to:

$$A_{\mathrm{g}}=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$

Grundfladens areal har vi, så rumfanget bliver:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Fra klodsen har vi savet 72 kubikcentimeter træ af.

For en sikkerheds skyld kontrollerer vi resultatet. Denne pyramide kan også lægges på en anden sideflade: den venstre sideflade er også en retvinklet trekant, denne gang med kateterne b = 6 cm og h = 9 cm, og vinkelret på den står kanten a med længden 8 cm, som nu er højden. Grundfladens areal er $\frac{6\cdot 9}{2}=27$, og rumfanget

$$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Det stemmer. Pyramiden er stadig den samme, den ligger bare anderledes, og derfor må der komme det samme rumfang ud.

Beregner

Rumfanget af en regulær firesidet pyramide kan du også beregne her. Det er nok at indtaste grundfladens side og højden; du kan skifte enhed ved hvert felt.

Se også

• Rumfang af prisme
• Rumfang af kegle
• Overfladeareal af pyramide