Piramidin Hacmi

Piramit, Mısır piramitlerinden tanıdığın bir cisimdir. Altta bir tabanı vardır, çoğunlukla kare; tabanın kenarlarından yukarı doğru üçgen yüzler yükselir ve bunlar tepede, tepe noktasında birleşir. Piramidin hacmi, böyle bir piramit içi boş olsaydı içine ne kadar kum sığacağını gösterir.

Taban alanı A_T ve yüksekliği h olan piramit

Kırmızı ile tabanı gösterdik, alanına A_T diyeceğiz. Mavi ile piramidin yüksekliğini h gösterdik — yükseklik, tepe noktasının tabana uzaklığıdır. Yükseklik tabana diktir; bu yüzden onu eğik yüz boyunca değil, tepeden aşağı doğru dikey olarak ölçeriz.

Piramidin Hacim Formülü

Yalnızca formülü arıyorsan, tabanının alanı A_T ve yüksekliği h olan piramidin hacmi V’yi şöyle hesaplarsın:

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{T} \cdot h$

En yaygın olanı düzgün dörtgen piramittir, yani tabanı kenar uzunluğu a olan bir kare olan piramit. Bu durumda taban alanı karenin alanı A_T = a²’dir ve formül şöyle görünür:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Örneğin taban kenarı a = 6 ve yüksekliği h = 5 olan piramidin hacmi

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

olur.

Formülde neden üçte bir var?

O üçte bir olmasaydı A_T · h formülü, tabanı ve yüksekliği aynı olan prizmanın hacmini verirdi. Demek ki piramit, prizmanın üçte biridir. Neden tam üçte bir olduğunu küp üzerinde çok güzel gösterebiliriz.

Kenarı a olan bir küp ve içinde bir köşe düşün; şekilde turuncu ile gösterilmiş. Bu köşeden küpün turuncu köşeye değmeyen üç yüzüne, yani alt, arka ve sağ yüzüne piramitler uzatalım. Kırmızı, mavi ve yeşil üç piramit oluşur. Bunlar birlikte küpün tamamını doldurur; ne boşluk kalır ne de birbirlerinin üstüne biner:

Ortak tepe noktalı üç eş piramide ayrılmış küp

Üç piramit de aynıdır, yalnızca her biri farklı yönde durur. Her birinin tabanı küpün bir yüzüdür, yani alanı a² olan bir karedir; yükseklikleri de a’dır, çünkü tepe noktaları karşı yüzden tam olarak küpün bir ayrıtı kadar uzaktır. Küpün hacmi a³’tür ve üç piramit arasında eşit bölüşülür, dolayısıyla her birinin hacmi

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_{T} \cdot h$

olur.

Tam da bizim formülümüz bu.

Küp elbette yalnızca özel bir durumdur, ama üçte bir başka durumlarda da geçerlidir. Küpü yüksekliğine ya da genişliğine doğru uzatırsak dikdörtgenler prizması elde ederiz ve üç piramidin hepsi de aynı şekilde uzar — her biri yine prizmanın üçte biridir. Piramidi eğersek hacmi değişmez. Onu zihninde ince dilimlerden oluşmuş say; giderek küçülen karelerden yapılmış bir baca gibi. Dilimleri yana kaydırırsak eğik bir piramit oluşur, ama dilimler hâlâ aynıdır ve aynı büyüklükte yer kaplar. Bu hileye Cavalieri ilkesi denir. Tabanı farklı biçimli piramitler için de işe yarar: iki piramidin taban alanı ve yüksekliği aynıysa, taban kare de olsa üçgen de olsa her yükseklikteki dilimlerin alanı aynıdır, dolayısıyla hacimleri de aynıdır. Bu yüzden

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{T} \cdot h$

formülü dik ya da eğik, tabanı kare, dikdörtgen ya da üçgen olan her piramit için geçerlidir. Yalnızca eğik piramitte dikkat et: yükseklik yine tepe noktasının tabana dikey uzaklığıdır, eğik ayrıtın uzunluğu değil.

Aynı üçte bire koninin hacminde de rastlarsın: koni, tabanı ve yüksekliği aynı olan silindirin üçte biridir. Koni de tabanında kare yerine daire bulunan bir piramit gibi düşünülebilir.

Örnek: Keops Piramidi

Gize’deki en büyük Mısır piramidi olan Keops Piramidi, başlangıçta kenarı yaklaşık 230 metre olan kare tabanlı ve yaklaşık 146 metre yüksekliğindeydi. Bugün yaklaşık sekiz metre daha alçaktır, çünkü ucu ve dış kaplaması eksiktir. İçine ne kadar taş sığmıştı?

Önce taban; kenarı 230 metre olan bir kare:

$A_{T} = 230^{2} = 52.900$

Taban 52.900 metrekare yer kaplar, bu yaklaşık yedi futbol sahası eder. Buradan hacmi hesaplayabiliriz:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52.900 \cdot 146$

Çarpalım:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7.723 .400$

Geriye üçe bölmek kalıyor:

$V \approx 2.574 .467$

Keops Piramidi’nin hacmi yaklaşık 2,6 milyon metreküptür. Onu söküp taşlarıyla olimpik havuzları doldursaydık — her biri 50 metre uzunlukta, 25 metre genişlikte ve 2 metre derinlikte, yani hacmi 2.500 metreküp olan havuzlar — bin taneden fazlasını doldururduk.

Unutulan üçte bir burada pahalıya patlar. Onu atlayan kişi 7,7 milyon metreküpten fazla bulur ve zihninde iki fazladan piramit inşa eder.

Yüksekliği bilmiyorsak

Çoğu zaman piramidin yüksekliği elimizde olmaz, buna karşılık yan ayrıtın s uzunluğunu biliriz — yan ayrıt, taban köşesinden tepe noktasına giden ayrıttır. Gerçek bir yapıda da durum budur: ayrıta metreyle ulaşmak, içerideki dikey yüksekliğe ulaşmaktan daha kolaydır.

Yükseklik h, yan ayrıt s ve taban köşegeninin yarısı (kırmızı) bir dik üçgen oluşturur; şekilde yeşille boyanmıştır:

Yükseklik h, köşegenin yarısı ve yan ayrıt s bir dik üçgen oluşturur

Yükseklik tepe noktasından karenin merkezine iner ve merkezden köşeye olan uzaklık tam olarak karenin köşegeninin yarısıdır. Kenarı a olan karenin köşegeni $d = a \cdot \sqrt{2}$ uzunluğundadır. Yan ayrıt s üçgenin hipotenüsüdür, dolayısıyla Pisagor teoremine göre

$s^{2} = h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} .$

Buradan yüksekliği çekeriz:

$h = \sqrt{s^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}}$

Örnek: Paris’teki Louvre Müzesi’nin önünde, kare tabanının kenarı 35,4 metre olan ve yan ayrıtları yaklaşık 33,1 metre uzunluğunda bir cam piramit durur. İçinde ne kadar hava vardır?

Taban köşegeniyle başlayalım:

$d = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Köşegenin yarısı yaklaşık 25,03 metredir. Yükseklik formülünde şöyle görünür:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Kareleri alalım:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Ve karekök alalım:

$h \approx 21, 66$

Piramidin yüksekliği yaklaşık 21,66 metredir. Tutuyor; resmî olarak bildirilen yükseklik 21,64 metredir. Yüksekliği bulduğumuza göre hacmi hesaplayabiliriz:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Piramidin içinde yaklaşık 9.000 metreküp hava vardır. Keops’un içine bu piramitlerden neredeyse üç yüz tane sığar.

Tabanı farklı olan piramit

Piramidin tabanı kare olmak zorunda değildir. $V = \frac{1}{3} \cdot A_{T} \cdot h$ formülü her tabanla çalışır, yalnızca taban alanı A_T her seferinde farklı hesaplanır.

Ahşap bir dikdörtgenler prizmasının bir köşesini, ona komşu üç köşeden geçen eğik bir kesikle testereyle kesmeyi dene. Kesilen parça üçgen piramittir: tabanı bir dik üçgendir, yüksekliği ise prizmanın tabana dik duran dikey ayrıtıdır.

Dik kenarları a, b olan dik üçgen tabanlı ve yüksekliği h olan üçgen piramit

Diyelim ki tabanın dik kenarları a = 8 cm ve b = 6 cm, yükseklik ise h = 9 cm olsun. Önce tabandaki üçgenin alanını bulalım. Dik üçgende dik kenarları çarpıp ikiye bölmek yeter:

$A_{T} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Taban alanını bulduk, dolayısıyla hacim şöyle çıkar:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Prizmadan 72 santimetreküp ahşap kesmiş olduk.

Sonucu kontrol edelim. Bu piramit başka bir yüzüne de yatırılabilir: sol yüz de bir dik üçgendir, bu kez dik kenarları b = 6 cm ve h = 9 cm’dir ve ona dik olarak uzunluğu 8 cm olan a ayrıtı durur; artık yükseklik odur. Taban alanı $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ ve hacim

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

olur. Tutuyor. Piramit hâlâ aynıdır, yalnızca farklı yatıyor; bu yüzden hacmin de aynı çıkması gerekir.

Hesap Makinesi

Düzgün dörtgen piramidin hacmini burada da hesaplayabilirsin. Taban kenarını ve yüksekliği girmen yeter; her alan için birimi değiştirebilirsin.

Ayrıca bak

Bölümler: Kürenin Hacmi, Silindirin Hacmi, Koninin Hacmi, Küpün Hacmi, Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi, Prizmanın Hacmi, Piramidin Hacmi

« Önceki: Prizmanın Hacmi

Sonraki: Konikler »