Pyramidin tilavuus

Pyramidi on kappale, jonka tunnet Egyptin pyramideista. Alhaalla on pohja, useimmiten neliö, ja sen sivuista nousevat kolmionmuotoiset tahkot, jotka kohtaavat ylhäällä yhdessä pisteessä, kärjessä. Pyramidin tilavuus kertoo, kuinka paljon hiekkaa tällaiseen pyramidiin mahtuisi, jos se olisi ontto.

Pyramidi, jonka pohjan pinta-ala on A_p ja korkeus h

Punaisella on väritetty pohja, jonka pinta-alaa merkitään A_p. Sinisellä on merkitty pyramidin korkeus h — kärjen etäisyys pohjasta. Korkeus on pohjaa vastaan kohtisuorassa, joten sitä ei mitata vinoa tahkoa pitkin vaan suoraan alas kärjestä.

Pyramidin tilavuuden kaava

Jos etsit vain kaavaa, pyramidin, jonka pohjan pinta-ala on A_p ja korkeus h, tilavuus V lasketaan kaavalla

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{p} \cdot h$

Yleisin on säännöllinen nelisivuinen pyramidi, eli pyramidi, jonka pohja on neliö ja sen sivun pituus on a. Pohjan pinta-ala on silloin neliön pinta-ala A_p = a² ja kaava on seuraava:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Esimerkiksi pyramidin, jonka pohjan sivu on a = 6 ja korkeus h = 5, tilavuus on

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Miksi mukana on kolmasosa?

Ilman kolmasosaa kaava A_p · h antaisi sellaisen särmiön tilavuuden, jolla on sama pohja ja sama korkeus. Pyramidi on siis kolmasosa särmiöstä. Miksi juuri kolmasosa, voidaan havainnollistaa kauniisti kuutiolla.

Olkoon kuutio, jonka särmä on a, ja siinä yksi kulma, kuvassa oranssi. Siitä vedetään pyramidit kolmeen kuution tahkoon, jotka eivät koske oranssia kulmaa: alatahkoon, takatahkoon ja oikeaan tahkoon. Syntyy kolme pyramidia, punainen, sininen ja vihreä. Yhdessä ne täyttävät koko kuution, tilaa ei jää yli eikä mikään kohta ole kahdesti:

Kuutio jaettuna kolmeen yhteneväiseen pyramidiin, joilla on yhteinen kärki

Kaikki kolme pyramidia ovat samanlaisia, vain jokainen on eri asennossa. Jokaisen pohjana on yksi kuution tahko, eli neliö, jonka pinta-ala on a², ja jokaisen korkeus on a, koska sen kärki on vastakkaisesta tahkosta juuri kuution särmän verran. Kuution tilavuus on a³ ja se jakautuu tasan kolmen pyramidin kesken, joten kunkin tilavuus on

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_{p} \cdot h$

Ja tämä on täsmälleen sama kaava.

Kuutio on tietysti vain yksi erikoistapaus, mutta kolmasosa pätee muuallakin. Kun kuutiota venytetään korkeus- tai leveyssuunnassa, siitä tulee suorakulmainen särmiö, ja kaikki kolme pyramidia venyvät samoin — jokainen niistä on edelleen kolmasosa särmiöstä. Ja kun pyramidia kallistetaan, sen tilavuus ei muutu. Kootaan se mielessä ohuista levyistä, kuin savupiippu yhä pienemmistä neliöistä. Kun levyjä siirretään sivuun, syntyy vino pyramidi, mutta levyt ovat edelleen samat ja vievät saman verran tilaa. Tätä kutsutaan Cavalierin periaatteeksi. Se toimii myös pyramideille, joiden pohjat ovat erimuotoisia: jos kahdella pyramidilla on yhtä suuri pohja ja sama korkeus, levyjen pinta-ala on jokaisella korkeudella sama, olipa pohja neliö tai kolmio, ja siksi myös tilavuus on sama. Siksi kaava

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{p} \cdot h$

pätee aivan jokaiselle pyramidille, suoralle ja vinolle, neliön, suorakulmion ja kolmion muotoisella pohjalla. Vinon pyramidin kohdalla on vain muistettava: korkeus on edelleen kärjen pystysuora etäisyys pohjasta, ei vinon särmän pituus.

Sama kolmasosa tulee vastaan myös kartion tilavuudessa: kartio on kolmasosa lieriöstä, jolla on sama pohja ja korkeus. Kartion voi nimittäin ajatella pyramidiksi, jonka pohjana on neliön sijasta ympyrä.

Esimerkki: Kheopsin pyramidi

Egyptin suurin pyramidi, Kheopsin pyramidi Gizassa, oli alun perin pohjaltaan neliö, jonka sivu oli noin 230 metriä, ja korkeus oli noin 146 metriä. Nykyään se on noin kahdeksan metriä matalampi, koska siitä puuttuu huippu ja ulkopinnan verhoilu. Kuinka paljon kiveä siihen mahtui?

Ensin pohja, joka on neliö, jonka sivu on 230 metriä:

$A_{p} = 230^{2} = 52 900$

Pohjan pinta-ala on 52 900 neliömetriä, noin seitsemän jalkapallokentän verran. Siitä voidaan laskea tilavuus:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52 900 \cdot 146$

Kerrotaan:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7 723 400$

Jäljellä on jako kolmella:

$V \approx 2 574 467$

Kheopsin pyramidin tilavuus on noin 2,6 miljoonaa kuutiometriä. Jos pyramidi purettaisiin ja kivillä täytettäisiin olympiauimaaltaita, joiden jokaisen pituus on 50 metriä, leveys 25 ja syvyys 2, eli tilavuus 2 500 kuutiometriä, altaita täyttyisi yli tuhat.

Unohtunut kolmasosa tulee tässä kalliiksi. Joka sen unohtaa, saa yli 7,7 miljoonaa kuutiometriä ja rakentaa mielessään kaksi ylimääräistä pyramidia.

Kun korkeutta ei tunneta

Usein korkeutta ei kuitenkaan ole käsillä, mutta sivusärmän pituus s tunnetaan — se on särmä, joka kulkee pohjan kulmasta kärkeen. Näin on esimerkiksi todellisessa rakennelmassa: särmään pääsee mittanauhalla helpommin kuin sisällä olevaan pystysuoraan korkeuteen.

Korkeus h, sivusärmä s ja pohjan lävistäjän puolikas (punaisella) muodostavat suorakulmaisen kolmion, joka on kuvassa väritetty vihreäksi:

Korkeus h, lävistäjän puolikas ja sivusärmä s muodostavat suorakulmaisen kolmion

Korkeus osuu kärjestä neliön keskipisteeseen, ja etäisyys keskipisteestä kulmaan on juuri neliön lävistäjän puolikas. Neliön, jonka sivu on a, lävistäjän pituus on $u = a \cdot \sqrt{2}$ . Sivusärmä s on kolmion hypotenuusa, joten Pythagoraan lauseen mukaan

$s^{2} = h^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

Tästä ratkaistaan korkeus:

$h = \sqrt{s^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Esimerkki: Pariisin Louvren edessä on lasipyramidi, jonka neliönmuotoisen pohjan sivu on 35,4 metriä ja sivusärmien pituus on noin 33,1 metriä. Kuinka paljon ilmaa sen sisällä on?

Aloitetaan pohjan lävistäjästä:

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Lävistäjän puolikas on siis noin 25,03 metriä. Korkeuden kaavassa se näyttää tältä:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Korotetaan toiseen potenssiin:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Ja otetaan neliöjuuri:

$h \approx 21, 66$

Pyramidin korkeus on noin 21,66 metriä. Täsmää, virallisesti ilmoitettu korkeus on 21,64 metriä. Kun korkeus on tiedossa, lasketaan tilavuus:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Pyramidin sisällä on noin 9 000 kuutiometriä ilmaa. Tällaisia pyramideja mahtuisi Kheopsin pyramidiin lähes kolmesataa.

Pyramidi, jolla on toisenlainen pohja

Pohjan ei tarvitse olla neliö. Kaava $V = \frac{1}{3} \cdot A_{p} \cdot h$ toimii mille tahansa pohjalle, vain pohjan pinta-ala A_p lasketaan joka kerta eri tavalla.

Yritä sahata puisesta suorakulmaisesta särmiöstä kulma pois vinolla leikkauksella, joka kulkee sen vierekkäisten kolmen kulman kautta. Pala, joka irtoaa, on kolmisivuinen pyramidi: sen pohja on suorakulmainen kolmio ja korkeus on särmiön pystysärmä, joka on pohjaa vastaan kohtisuorassa.

Kolmisivuinen pyramidi, jonka suorakulmaisen pohjan kateetit ovat a ja b ja korkeus h

Olkoot pohjan kateetit a = 8 cm ja b = 6 cm ja korkeus h = 9 cm. Selvitetään ensin pohjan kolmion pinta-ala. Suorakulmaisella kolmiolla riittää kertoa kateetit ja jakaa kahdella:

$A_{p} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Pohjan pinta-ala on selvillä, joten tilavuudeksi saadaan:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Särmiöstä sahattiin pois 72 kuutiosenttimetriä puuta.

Varmuuden vuoksi tarkistetaan tulos. Tämän pyramidin voi asettaa myös toiselle tahkolle: vasen tahko on myös suorakulmainen kolmio, tällä kertaa kateetit ovat b = 6 cm ja h = 9 cm, ja sitä vastaan kohtisuorassa on särmä a, jonka pituus on 8 cm ja joka on nyt korkeus. Pohjan pinta-ala on $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ ja tilavuus

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Täsmää. Pyramidi on edelleen sama, se vain on eri asennossa, ja siksi tilavuuden on tultava samaksi.

Laskin

Säännöllisen nelisivuisen pyramidin tilavuuden voi laskea myös tässä. Anna pohjan sivu ja korkeus, ja yksikön voi vaihtaa kunkin kentän kohdalla.

Katso myös

Luvut: Pallon tilavuus, Lieriön tilavuus, Kartion tilavuus, Kuution tilavuus, Suorakulmaisen särmiön tilavuus, Särmiön tilavuus, Pyramidin tilavuus

« Edellinen: Särmiön tilavuus

Seuraava: Kartioleikkaukset »