Inhoud van een piramide

Een piramide is een lichaam dat je kent van de Egyptische piramiden. Onderaan heeft hij een grondvlak, meestal een vierkant, en vanuit de randen daarvan stijgen driehoekige zijvlakken op die bovenaan in één punt samenkomen, de top. De inhoud van een piramide vertelt je hoeveel zand erin zou passen als zo'n piramide hol was.

Rood is het grondvlak ingekleurd, de oppervlakte daarvan noteren we als G. Blauw is de hoogte van de piramide h aangegeven — de afstand van de top tot het grondvlak. De hoogte staat loodrecht op het grondvlak, dus we meten haar niet langs het schuine zijvlak, maar recht naar beneden vanaf de top.

Formule voor de inhoud van een piramide

Zoek je alleen de formule, dan bereken je de inhoud V van een piramide waarvan het grondvlak oppervlakte G heeft en die hoogte h heeft als

$$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$

Het vaakst kom je de regelmatige vierzijdige piramide tegen, dus een piramide met een vierkant als grondvlak met zijde a. De oppervlakte van het grondvlak is dan de oppervlakte van een vierkant G = a² en de formule ziet er zo uit:

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$$

Een piramide met zijde van het grondvlak a = 6 en hoogte h = 5 heeft bijvoorbeeld inhoud

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 180=60$$

Waarom zit er een derde in?

Zonder dat derde zou de formule G · h de inhoud van een prisma met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte geven. Een piramide is dus een derde van een prisma. Waarom precies een derde, kun je mooi laten zien aan de hand van een kubus.

Neem een kubus met ribbe a en daarin één hoekpunt, op de afbeelding oranje. Vanuit dat hoekpunt trekken we nu piramides naar de drie zijvlakken van de kubus die het oranje hoekpunt niet raken: het onderste, het achterste en het rechter. Er ontstaan drie piramides, een rode, een blauwe en een groene. Samen vullen ze de hele kubus op, er blijft geen ruimte over en ze overlappen elkaar niet:

Alle drie de piramides zijn gelijk, ze liggen alleen elk anders. Elk heeft als grondvlak één zijvlak van de kubus, dus een vierkant met oppervlakte a², en elk heeft hoogte a, want zijn top ligt precies één ribbe van de kubus van het tegenoverliggende zijvlak af. De inhoud van de kubus is a³ en die wordt gelijk verdeeld over de drie piramides, dus elke heeft inhoud

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$

En dat is precies onze formule.

De kubus is natuurlijk maar één bepaald geval, maar het derde blijft ook elders gelden. Rekken we de kubus uit in de hoogte of in de breedte, dan wordt het een balk en rekken alle drie de piramides op dezelfde manier mee — elk van hen blijft een derde van de balk. En kantelen we een piramide, dan verandert zijn inhoud niet. Stel je voor dat je hem opbouwt uit dunne plaatjes, als een schoorsteen van steeds kleinere vierkantjes. Schuiven we de plaatjes opzij, dan ontstaat een scheve piramide, maar de plaatjes zijn nog steeds dezelfde en nemen evenveel ruimte in. Deze truc heet het principe van Cavalieri. Het werkt ook voor piramides met verschillend gevormde grondvlakken: hebben twee piramides even grote grondvlakken en dezelfde hoogte, dan hebben de plaatjes op elke hoogte dezelfde oppervlakte, of het grondvlak nu een vierkant of een driehoek is, en dus hebben ze ook dezelfde inhoud. Daarom geldt de formule

$$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$

voor elke piramide, recht of scheef, met een vierkant, rechthoekig of driehoekig grondvlak. Let alleen op bij de scheve piramide: de hoogte is daar nog steeds de loodrechte afstand van de top tot het grondvlak, niet de lengte van de schuine ribbe.

Hetzelfde derde kom je tegen bij de inhoud van een kegel: een kegel is een derde van een cilinder met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Een kegel kun je namelijk zien als een piramide die in het grondvlak een cirkelschijf heeft in plaats van een vierkant.

Voorbeeld: de piramide van Cheops

De grootste Egyptische piramide, die van Cheops bij Gizeh, had oorspronkelijk een vierkant grondvlak met een zijde van ongeveer 230 meter en was ongeveer 146 meter hoog. Nu is hij ongeveer acht meter lager, omdat de top en de buitenbekleding ontbreken. Hoeveel steen paste erin?

Eerst het grondvlak, dat is een vierkant met zijde 230 meter:

$$G={230}^2=52900$$

Het grondvlak beslaat 52 900 vierkante meter, dat is ongeveer zeven voetbalvelden. Hieruit berekenen we de inhoud:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 52900\cdot 146$$

We vermenigvuldigen:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 7723400$$

Nu nog delen door drie:

$$V\approx 2574467$$

De piramide van Cheops heeft een inhoud van ongeveer 2,6 miljoen kubieke meter. Als we hem zouden afbreken en met de stenen olympische zwembaden zouden vullen, elk 50 meter lang, 25 breed en 2 diep, dus met een inhoud van 2500 kubieke meter, dan zouden we er meer dan duizend vullen.

Het vergeten derde komt hier duur te staan. Wie het weglaat, krijgt meer dan 7,7 miljoen kubieke meter en bouwt in gedachten twee piramides te veel.

Als we de hoogte niet kennen

Vaak hebben we de hoogte van de piramide niet bij de hand, maar kennen we wel de lengte van de zijribbe s — dat is de ribbe die van een hoek van het grondvlak naar de top loopt. Zo is het bijvoorbeeld bij een echt bouwwerk: met een meetlint kom je gemakkelijker bij de ribbe dan bij de verticale hoogte binnenin.

De hoogte h, de zijribbe s en de helft van de diagonaal van het grondvlak (rood) vormen een rechthoekige driehoek, die in de afbeelding groen is ingekleurd:

De hoogte komt vanuit de top uit in het midden van het vierkant, en de afstand van het midden tot een hoekpunt is precies de helft van de diagonaal van het vierkant. De diagonaal van een vierkant met zijde a is $u=a\cdot \sqrt{2}$ lang. De zijribbe s is de schuine zijde van de driehoek, dus volgens de stelling van Pythagoras geldt

$$s^2=h^2+{\left(\frac{u}{2}\right)}^2.$$

Hieruit maken we de hoogte vrij:

$$h=\sqrt{s^2-{\left(\frac{u}{2}\right)}^2}$$

Voorbeeld: Voor het Louvre in Parijs staat een glazen piramide met een vierkant grondvlak met zijde 35,4 meter en met zijribben van ongeveer 33,1 meter lang. Hoeveel lucht zit er binnenin?

We beginnen met de diagonaal van het grondvlak:

$$u=a\cdot \sqrt{2}=35,4\cdot \sqrt{2}\approx 50,06$$

De helft van de diagonaal is dus ongeveer 25,03 meter. In de formule voor de hoogte ziet dat er zo uit:

$$h=\sqrt{33,1^2-25,{03}^2}$$

We kwadrateren:

$$h=\sqrt{1095,61-626,50}=\sqrt{469,11}$$

En we trekken de wortel:

$$h\approx 21,66$$

De piramide is ongeveer 21,66 meter hoog. Dat klopt, de officieel opgegeven hoogte is 21,64 meter. Met de hoogte in de hand berekenen we de inhoud:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 35,4^2\cdot 21,66=\frac{1}{3}\cdot 1253,16\cdot 21,66\approx 9048$$

Binnenin de piramide zit ongeveer 9000 kubieke meter lucht. Van zulke piramides passen er bijna driehonderd in die van Cheops.

Een piramide met een ander grondvlak

Het grondvlak van een piramide hoeft geen vierkant te zijn. De formule $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ werkt voor elk grondvlak, alleen wordt de oppervlakte G ervan telkens anders berekend.

Probeer maar eens met een zaag van een houten balk een hoek af te zagen met een schuine snede die door de drie aangrenzende hoekpunten loopt. Het afgezaagde stuk is een driezijdige piramide: het grondvlak is een rechthoekige driehoek en de hoogte is de verticale ribbe van de balk, die loodrecht op het grondvlak staat.

Stel dat de rechthoekszijden van het grondvlak a = 8 cm en b = 6 cm zijn en de hoogte h = 9 cm. Eerst bepalen we de oppervlakte van de driehoek in het grondvlak. Bij een rechthoekige driehoek volstaat het de rechthoekszijden te vermenigvuldigen en door twee te delen:

$$G=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$

We hebben de oppervlakte van het grondvlak, dus de inhoud wordt:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Van de balk hebben we 72 kubieke centimeter hout afgezaagd.

Voor de zekerheid controleren we het resultaat. Deze piramide kun je ook op een ander zijvlak leggen: het linkerzijvlak is ook een rechthoekige driehoek, nu met rechthoekszijden b = 6 cm en h = 9 cm, en daar staat loodrecht op de ribbe a van 8 cm lengte, die nu de hoogte is. De oppervlakte van het grondvlak is $\frac{6\cdot 9}{2}=27$ en de inhoud

$$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Dat klopt. De piramide is nog steeds dezelfde, hij ligt alleen anders, en dus moet er dezelfde inhoud uitkomen.

Rekenmachine

De inhoud van een regelmatige vierzijdige piramide kun je ook hier uitrekenen. Vul de zijde van het grondvlak en de hoogte in, de eenheden kun je bij elk veld omschakelen.

Zie ook

• Inhoud van een prisma
• Inhoud van een kegel
• Oppervlakte van een piramide