Volum av pyramide

En pyramide er en romfigur du kjenner fra de egyptiske pyramidene. Nederst har den en grunnflate, oftest et kvadrat, og fra kantene i grunnflaten stiger trekantede sideflater som møtes i ett punkt øverst, i toppunktet. Volumet av en pyramide forteller hvor mye sand det ville gått med til å fylle en slik pyramide hvis den var hul.

Med rødt er grunnflaten farget, og arealet av den betegner vi G. Med blått er høyden h til pyramiden markert – avstanden fra toppunktet til grunnflaten. Høyden står vinkelrett på grunnflaten, så vi måler den ikke langs den skrå sideflaten, men loddrett ned fra toppunktet.

Formel for volumet av en pyramide

Hvis du bare leter etter formelen, regner du ut volumet V av en pyramide med grunnflateareal G og høyde h slik:

$$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$

Den vanligste er den regulære firkantede pyramiden, altså en pyramide med kvadratisk grunnflate med side a. Arealet av grunnflaten er da arealet av et kvadrat G = a², og formelen ser slik ut:

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$$

For eksempel har en pyramide med side a = 6 i grunnflaten og høyde h = 5 volumet

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 180=60$$

Hvorfor står det en tredjedel der?

Uten den tredjedelen ville formelen G · h gitt volumet av et prisme med samme grunnflate og samme høyde. En pyramide er altså en tredjedel av et prisme. Hvorfor akkurat en tredjedel, kan vi vise fint med en kube.

La oss ta en kube med kantlengde a og ett hjørne i den, som er oransje på figuren. Fra det trekker vi nå pyramider til de tre sideflatene av kuben som ikke berører det oransje hjørnet: den nederste, den bakre og den høyre. Det oppstår tre pyramider, en rød, en blå og en grønn. Sammen fyller de hele kuben, uten at det blir noe plass til overs og uten at noe overlapper:

Alle tre pyramidene er like, de ligger bare på ulike måter. Hver av dem har en sideflate av kuben som grunnflate, altså et kvadrat med areal a², og hver har høyden a, fordi toppunktet ligger akkurat en kantlengde fra den motsatte sideflaten. Volumet av kuben er a³, og det fordeles likt på de tre pyramidene, så hver av dem har volumet

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$

Og det er akkurat formelen vår.

Kuben er selvsagt bare ett bestemt tilfelle, men tredjedelen holder også i andre tilfeller. Når vi strekker kuben i høyden eller bredden, blir den til et rettvinklet prisme, og alle de tre pyramidene strekkes på samme måte – hver av dem er fortsatt en tredjedel av det rettvinklede prismet. Og når vi heller pyramiden, endrer ikke volumet seg. Tenk deg at den er bygd opp av tynne skiver, som en skorstein av stadig mindre kvadrater. Når vi forskyver skivene til siden, oppstår en skjev pyramide, men skivene er fortsatt de samme og opptar like mye plass. Dette trikset kalles Cavalieris prinsipp. Det fungerer også for pyramider med ulikt formede grunnflater: Hvis to pyramider har like store grunnflater og samme høyde, har skivene i hver høyde samme areal, enten grunnflaten er et kvadrat eller en trekant, og da har de også samme volum. Derfor gjelder formelen

$$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$

for absolutt alle pyramider, rette og skjeve, med kvadratisk, rektangulær og trekantet grunnflate. Men vær oppmerksom på den skjeve pyramiden: Høyden er fortsatt den loddrette avstanden fra toppunktet til grunnflaten, ikke lengden av den skrå kanten.

Du møter den samme tredjedelen i volumet av en kjegle: En kjegle er en tredjedel av en sylinder med samme grunnflate og høyde. En kjegle kan nemlig oppfattes som en pyramide som har en sirkel i stedet for et kvadrat som grunnflate.

Eksempel: Keopspyramiden

Den største egyptiske pyramiden, Keopspyramiden i Giza, hadde opprinnelig kvadratisk grunnflate med side omtrent 230 meter og var omtrent 146 meter høy. I dag er den omtrent åtte meter lavere, fordi toppen og den ytre kledningen mangler. Hvor mye stein gikk det med til den?

Først grunnflaten, som er et kvadrat med side 230 meter:

$$G={230}^2=52900$$

Grunnflaten er på 52 900 kvadratmeter, det er omtrent sju fotballbaner. Derfra regner vi ut volumet:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 52900\cdot 146$$

Vi ganger sammen:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 7723400$$

Det gjenstår å dividere på tre:

$$V\approx 2574467$$

Keopspyramiden har et volum på omtrent 2,6 millioner kubikkmeter. Hvis vi tok den fra hverandre og fylte olympiske svømmebasseng med steinen, hvert på 50 meter i lengde, 25 i bredde og 2 i dybde, altså med volumet 2500 kubikkmeter, ville vi fylt over tusen av dem.

Den glemte tredjedelen blir dyr her. Den som utelater den, får over 7,7 millioner kubikkmeter og bygger i tankene to ekstra pyramider.

Når vi ikke kjenner høyden

Ofte har vi ikke høyden til pyramiden for hånden, men vi kjenner lengden av sidekanten s – det er kanten som går fra et hjørne i grunnflaten til toppunktet. Slik er det for eksempel med en ekte bygning: Det er lettere å komme til kanten med målebånd enn til den loddrette høyden inne i bygningen.

Høyden h, sidekanten s og halve diagonalen i grunnflaten (rødt) danner en rettvinklet trekant, som er farget grønn på figuren:

Høyden treffer grunnflaten i midten av kvadratet, og avstanden fra midten til et hjørne er nettopp halve diagonalen i kvadratet. Diagonalen i et kvadrat med side a er $d=a\cdot \sqrt{2}$ lang. Sidekanten s er hypotenusen i trekanten, så ifølge Pytagoras' setning gjelder

$$s^2=h^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2.$$

Herfra finner vi høyden:

$$h=\sqrt{s^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}$$

Eksempel: Foran Louvre i Paris står en glasspyramide med kvadratisk grunnflate med side 35,4 meter og sidekanter på omtrent 33,1 meter. Hvor mye luft er det inni?

Vi begynner med diagonalen i grunnflaten:

$$d=a\cdot \sqrt{2}=35,4\cdot \sqrt{2}\approx 50,06$$

Halve diagonalen er altså omtrent 25,03 meter. I formelen for høyden ser det slik ut:

$$h=\sqrt{33,1^2-25,{03}^2}$$

Vi regner ut potensene:

$$h=\sqrt{1095,61-626,50}=\sqrt{469,11}$$

Og tar kvadratroten:

$$h\approx 21,66$$

Pyramiden er omtrent 21,66 meter høy. Det stemmer, den offisielt oppgitte høyden er 21,64 meter. Med høyden i hånden regner vi ut volumet:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 35,4^2\cdot 21,66=\frac{1}{3}\cdot 1253,16\cdot 21,66\approx 9048$$

Inni pyramiden er det omtrent 9000 kubikkmeter luft. Av slike pyramider ville det gått nesten tre hundre inn i Keopspyramiden.

Pyramide med en annen grunnflate

Grunnflaten til en pyramide trenger ikke være et kvadrat. Formelen $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ fungerer for en hvilken som helst grunnflate, bare arealet G regnes ut på en ny måte hver gang.

Prøv å sage et hjørne av en trekloss som er et rettvinklet prisme, med et skrått snitt som går gjennom de tre hjørnene som ligger inntil det. Biten du sager av, er en trekantet pyramide: Grunnflaten er en rettvinklet trekant, og høyden er den loddrette kanten i prismet som står vinkelrett på grunnflaten.

La oss si at katetene i grunnflaten er a = 8 cm og b = 6 cm og høyden er h = 9 cm. Først finner vi arealet av trekanten i grunnflaten. For en rettvinklet trekant er det nok å gange katetene og dividere på to:

$$G=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$

Vi har arealet av grunnflaten, så volumet blir:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Fra det rettvinklede prismet har vi sagd av 72 kubikkcentimeter tre.

For sikkerhets skyld kontrollerer vi resultatet. Denne pyramiden kan også legges på en annen sideflate: Den venstre sideflaten er også en rettvinklet trekant, denne gangen med kateter b = 6 cm og h = 9 cm, og vinkelrett på den står kanten a på 8 cm, som nå er høyden. Arealet av grunnflaten er $\frac{6\cdot 9}{2}=27$ og volumet

$$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Det stemmer. Pyramiden er fortsatt den samme, den ligger bare annerledes, og da må vi få samme volum.

Kalkulator

Du kan også regne ut volumet av en regulær firkantet pyramide her. Skriv inn siden i grunnflaten og høyden, og du kan bytte enhet ved hvert felt.

Se også

• Volum av prisme
• Volum av kjegle
• Overflate av pyramide