Volumen de la pirámide

La pirámide es un cuerpo que conoces por las pirámides de Egipto. Abajo tiene una base, normalmente un cuadrado, y de sus aristas suben caras triangulares que se juntan arriba en un único punto, el vértice. El volumen de la pirámide nos dice cuánta arena cabría en una pirámide así si estuviera hueca.

Pirámide con base de área A_B y altura h

En rojo está coloreada la base, cuya área llamaremos A_B. En azul está marcada la altura de la pirámide h, la distancia del vértice a la base. La altura es perpendicular a la base, así que no la medimos a lo largo de la cara inclinada, sino en vertical hacia abajo desde el vértice.

Fórmula del volumen de la pirámide

Si buscas solo la fórmula, el volumen V de una pirámide cuya base tiene área A_B y que tiene altura h se calcula como

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{B} \cdot h$

La más habitual es la pirámide cuadrangular regular, es decir, la pirámide con base cuadrada de lado a. El área de la base es entonces el área del cuadrado A_B = a² y la fórmula queda así:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Por ejemplo, una pirámide con lado de la base a = 6 y altura h = 5 tiene un volumen de

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

¿Por qué aparece un tercio?

Sin ese tercio, la fórmula A_B · h daría el volumen del prisma con la misma base y la misma altura. La pirámide es, por tanto, un tercio del prisma. Por qué precisamente un tercio se puede mostrar muy bien con un cubo.

Tomemos un cubo de arista a y en él una esquina, la naranja en la figura. Desde ella extendemos ahora pirámides hacia las tres caras del cubo que no tocan la esquina naranja: la inferior, la trasera y la derecha. Resultan tres pirámides, una roja, una azul y una verde. Juntas llenan todo el cubo, sin que sobre ningún hueco y sin que se solapen:

Cubo dividido en tres pirámides iguales con un vértice común

Las tres pirámides son iguales, solo que cada una está colocada de otra manera. Cada una tiene por base una cara del cubo, es decir, un cuadrado de área a², y cada una tiene altura a, porque su vértice dista de la cara opuesta justo una arista del cubo. El volumen del cubo es a³ y se reparte a partes iguales entre las tres pirámides, así que cada una tiene un volumen de

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_{B} \cdot h$

Y esa es exactamente nuestra fórmula.

El cubo es, por supuesto, solo un caso concreto, pero el tercio se mantiene en los demás. Si estiramos el cubo a lo alto o a lo ancho, se convierte en un ortoedro y las tres pirámides se estiran igual: cada una sigue siendo un tercio del ortoedro. Y si inclinamos una pirámide, su volumen no cambia. Imaginemos que la formamos con láminas finas, como una chimenea de cuadraditos cada vez más pequeños. Si desplazamos las láminas hacia un lado, resulta una pirámide oblicua, pero las láminas siguen siendo las mismas y ocupan el mismo espacio. A este truco se le llama principio de Cavalieri. Funciona también para pirámides con bases de distinta forma: si dos pirámides tienen bases de la misma área y la misma altura, las láminas tienen a cada altura la misma área, sea la base un cuadrado o un triángulo, y por eso tienen también el mismo volumen. Por eso la fórmula

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{B} \cdot h$

vale para absolutamente cualquier pirámide, recta u oblicua, con base cuadrada, rectangular o triangular. Solo hay que tener cuidado con la pirámide oblicua: su altura sigue siendo la distancia vertical del vértice a la base, no la longitud de la arista inclinada.

El mismo tercio aparece en el volumen del cono: el cono es un tercio del cilindro con la misma base y la misma altura. Y es que un cono se puede entender como una pirámide que tiene en la base un círculo en lugar de un cuadrado.

Ejemplo: la pirámide de Keops

La mayor pirámide de Egipto, la de Keops en Guiza, tenía originalmente una base cuadrada de unos 230 metros de lado y unos 146 metros de altura. Hoy es unos ocho metros más baja, porque le faltan la punta y el revestimiento exterior. ¿Cuánta piedra cabía en ella?

Primero la base, que es un cuadrado de 230 metros de lado:

$A_{B} = 230^{2} = 52.900$

La base ocupa 52.900 metros cuadrados, aproximadamente siete campos de fútbol. A partir de ahí ya calculamos el volumen:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52.900 \cdot 146$

Multiplicamos:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7.723 .400$

Solo queda dividir entre tres:

$V \approx 2.574 .467$

La pirámide de Keops tiene un volumen de unos 2,6 millones de metros cúbicos. Si la desmontáramos y llenáramos de piedras piscinas olímpicas, cada una de 50 metros de largo, 25 de ancho y 2 de profundidad, es decir, de 2500 metros cúbicos de volumen, llenaríamos más de mil.

El tercio olvidado sale aquí muy caro. Quien lo omita obtendrá más de 7,7 millones de metros cúbicos y construirá en su imaginación dos pirámides de más.

Cuando no conocemos la altura

A menudo no tenemos la altura de la pirámide a mano, pero sí conocemos la longitud de la arista lateral l, que es la arista que va de una esquina de la base al vértice. Así ocurre, por ejemplo, en una construcción real: con el metro se llega a la arista más fácilmente que a la altura vertical del interior.

La altura h, la arista lateral l y la mitad de la diagonal de la base (en rojo) forman un triángulo rectángulo, que en la figura está coloreado de verde:

La altura h, la mitad de la diagonal y la arista lateral l forman un triángulo rectángulo

La altura cae desde el vértice al centro del cuadrado, y la distancia del centro a una esquina es justo la mitad de la diagonal del cuadrado. La diagonal de un cuadrado de lado a mide $d = a \cdot \sqrt{2}$ . La arista lateral l es la hipotenusa del triángulo, así que por el teorema de Pitágoras se cumple

$l^{2} = h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} .$

De aquí despejamos la altura:

$h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}}$

Ejemplo: Delante del Louvre de París hay una pirámide de cristal con base cuadrada de 35,4 metros de lado y con aristas laterales de unos 33,1 metros. ¿Cuánto aire hay dentro?

Empezamos por la diagonal de la base:

$d = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

La mitad de la diagonal es, por tanto, aproximadamente 25,03 metros. En la fórmula de la altura queda así:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Elevamos al cuadrado:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Y extraemos la raíz:

$h \approx 21, 66$

La pirámide mide unos 21,66 metros de altura. Cuadra: la altura oficial es de 21,64 metros. Con la altura ya conocida, calculamos el volumen:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Dentro de la pirámide hay unos 9000 metros cúbicos de aire. En la de Keops cabrían casi trescientas pirámides así.

Pirámide con otra base

La base de la pirámide no tiene por qué ser un cuadrado. La fórmula $V = \frac{1}{3} \cdot A_{B} \cdot h$ funciona para cualquier base, solo que cada vez el área A_B se calcula de otra manera.

Prueba a cortar con una sierra una esquina de un ortoedro de madera con un corte oblicuo que pase por los tres vértices contiguos a ella. El trozo cortado es una pirámide triangular: su base es un triángulo rectángulo y su altura es la arista vertical del ortoedro, que es perpendicular a la base.

Pirámide triangular cuya base es un triángulo rectángulo de catetos a, b y altura h

Digamos que los catetos de la base miden a = 8 cm y b = 6 cm y la altura es h = 9 cm. Primero calculamos el área del triángulo de la base. En un triángulo rectángulo basta multiplicar los catetos y dividir entre dos:

$A_{B} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Ya tenemos el área de la base, así que el volumen sale

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Del ortoedro hemos cortado 72 centímetros cúbicos de madera.

Para estar seguros, comprobemos el resultado. Esta pirámide se puede apoyar también sobre otra cara: la cara izquierda es también un triángulo rectángulo, esta vez con catetos b = 6 cm y h = 9 cm, y perpendicular a ella está la arista a de 8 cm, que ahora es la altura. El área de la base es $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ y el volumen

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Cuadra. La pirámide sigue siendo la misma, solo que está colocada de otra manera, así que tiene que salir el mismo volumen.

Calculadora

El volumen de una pirámide cuadrangular regular puedes calcularlo también aquí. Basta introducir el lado de la base y la altura; las unidades se pueden cambiar en cada campo.

Véase también

Capítulos: Volumen de la esfera, Volumen del cilindro, Volumen del cono, Volumen del cubo, Volumen del ortoedro, Volumen del prisma, Volumen de la pirámide

« Anterior: Volumen del prisma

Siguiente: Cónicas »