Volumul piramidei

Piramida este un corp geometric pe care îl cunoști din piramidele egiptene. Jos are o bază, cel mai des un pătrat, iar din laturile ei se ridică fețe triunghiulare, care se întâlnesc sus într-un singur punct, în vârf. Volumul piramidei ne spune cât nisip ar încăpea într-o astfel de piramidă, dacă ar fi goală pe dinăuntru.

$Piramidă cu baza de arie \mathcal{A}_b și înălțimea h$

Cu roșu este marcată baza, a cărei arie o vom nota $A_{b}$ . Cu albastru este marcată înălțimea piramidei h – distanța de la vârf la bază. Înălțimea este perpendiculară pe bază, așa că nu o măsurăm de-a lungul feței înclinate, ci vertical, în jos din vârf.

Formula volumului piramidei

Dacă ai nevoie doar de formulă, volumul V al piramidei a cărei bază are aria $A_{b}$ și care are înălțimea h se calculează ca

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

Cea mai întâlnită este piramida patrulateră regulată, adică piramida cu baza pătrată de latură a. Aria bazei este atunci aria pătratului $A_{b} = a^{2}$ , iar formula arată astfel:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

De exemplu, o piramidă cu latura bazei a = 6 și înălțimea h = 5 are volumul

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

De ce apare o treime?

Fără acea treime, formula $A_{b} \cdot h$ ar da volumul prismei cu aceeași bază și aceeași înălțime. Piramida este deci o treime dintr-o prismă. De ce tocmai o treime se poate arăta foarte frumos pe un cub.

Să luăm un cub cu muchia a și, în el, un colț, marcat cu portocaliu în figură. Din acest colț ducem acum piramide spre cele trei fețe ale cubului care nu ating colțul portocaliu: spre cea de jos, cea din spate și cea din dreapta. Se formează trei piramide, una roșie, una albastră și una verde. Împreună ele umplu tot cubul, fără să rămână loc liber și fără să se suprapună:

Cub împărțit în trei piramide congruente cu vârf comun

Toate cele trei piramide sunt la fel, doar că fiecare stă altfel. Fiecare are ca bază o față a cubului, adică un pătrat de arie a², și fiecare are înălțimea a, pentru că vârful ei se află la distanța unei muchii de cub față de fața opusă. Volumul cubului este a³ și se împarte în mod egal între cele trei piramide, deci fiecare are volumul

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

Și aceasta este exact formula noastră.

Cubul este desigur doar un caz particular, dar treimea rămâne valabilă și în alte cazuri. Dacă întindem cubul pe înălțime sau pe lățime, devine un paralelipiped dreptunghic, iar toate cele trei piramide se întind la fel – fiecare dintre ele rămâne tot o treime din paralelipiped. Iar dacă înclinăm piramida, volumul ei nu se schimbă. Să ne-o imaginăm alcătuită din plăcuțe subțiri, ca un coș de fum din pătrățele tot mai mici. Dacă împingem plăcuțele într-o parte, obținem o piramidă oblică, dar plăcuțele sunt aceleași și ocupă același spațiu. Acest truc se numește principiul lui Cavalieri. Funcționează și pentru piramide cu baze de alte forme: dacă două piramide au baze de arii egale și aceeași înălțime, plăcuțele de la fiecare înălțime au aceeași arie, indiferent dacă baza este un pătrat sau un triunghi, și astfel au și același volum. De aceea formula

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

este valabilă pentru orice piramidă, dreaptă sau oblică, cu baza pătrată, dreptunghiulară sau triunghiulară. Doar fii atent la piramida oblică: înălțimea ei este tot distanța verticală de la vârf la bază, nu lungimea muchiei înclinate.

Aceeași treime o întâlnești și la volumul conului: conul este o treime din cilindrul cu aceeași bază și aceeași înălțime. Conul poate fi privit, de fapt, ca o piramidă care are la bază un cerc în loc de pătrat.

Exemplu: piramida lui Keops

Cea mai mare piramidă egipteană, cea a lui Keops de la Giza, avea inițial baza pătrată cu latura de aproximativ 230 de metri și înălțimea de aproximativ 146 de metri. Astăzi este cu vreo opt metri mai joasă, pentru că îi lipsesc vârful și învelișul exterior. Câtă piatră a încăput în ea?

Mai întâi baza, care este un pătrat cu latura de 230 de metri:

$A_{b} = 230^{2} = 52.900$

Baza are 52.900 de metri pătrați, adică cam șapte terenuri de fotbal. De aici putem calcula volumul:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52.900 \cdot 146$

Înmulțim:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7.723 .400$

Rămâne de împărțit la trei:

$V \approx 2.574 .467$

Piramida lui Keops are un volum de aproximativ 2,6 milioane de metri cubi. Dacă am demonta-o și am umple cu pietrele ei bazine olimpice, fiecare lung de 50 de metri, lat de 25 și adânc de 2, adică cu un volum de 2500 de metri cubi, am umple peste o mie dintre ele.

Treimea uitată se plătește aici scump. Cine o omite obține peste 7,7 milioane de metri cubi și construiește în gând cu două piramide în plus.

Când nu cunoaștem înălțimea

Adesea nu avem înălțimea piramidei la îndemână, dar cunoaștem lungimea muchiei laterale l – adică a muchiei care duce de la un colț al bazei până în vârf. Așa se întâmplă, de pildă, la o construcție reală: la muchie ajungi mai ușor cu ruleta decât la înălțimea verticală din interior.

Înălțimea h, muchia laterală l și jumătatea diagonalei bazei (cu roșu) formează un triunghi dreptunghic, colorat în verde în figură:

Înălțimea h, jumătatea diagonalei și muchia laterală l formează un triunghi dreptunghic

Înălțimea cade din vârf în centrul pătratului, iar distanța de la centru la colț este exact jumătate din diagonala pătratului. Diagonala pătratului cu latura a are lungimea $d = a \cdot \sqrt{2}$ . Muchia laterală l este ipotenuza triunghiului, deci conform teoremei lui Pitagora avem

$l^{2} = h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} .$

De aici exprimăm înălțimea:

$h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}}$

Exemplu: În fața muzeului Luvru din Paris se află o piramidă de sticlă cu baza pătrată cu latura de 35,4 metri și cu muchiile laterale lungi de aproximativ 33,1 metri. Cât aer este înăuntru?

Începem cu diagonala bazei:

$d = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Jumătatea diagonalei este deci aproximativ 25,03 metri. În formula înălțimii arată astfel:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Ridicăm la pătrat:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Și extragem rădăcina pătrată:

$h \approx 21, 66$

Piramida are înălțimea de aproximativ 21,66 metri. Se potrivește, înălțimea indicată oficial este de 21,64 metri. Având înălțimea, calculăm volumul:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

În interiorul piramidei se află cam 9000 de metri cubi de aer. În piramida lui Keops ar încăpea aproape trei sute de astfel de piramide.

Piramida cu altă bază

Baza piramidei nu trebuie să fie un pătrat. Formula $V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$ funcționează pentru orice bază, doar că de fiecare dată aria $A_{b}$ se calculează altfel.

Încearcă să tai cu ferăstrăul dintr-un paralelipiped de lemn un colț, printr-o tăietură oblică care trece prin cele trei colțuri vecine cu el. Bucata tăiată este o piramidă triunghiulară: baza ei este un triunghi dreptunghic, iar înălțimea este muchia verticală a paralelipipedului, perpendiculară pe bază.

Piramidă triunghiulară cu baza triunghi dreptunghic de catete a, b și înălțimea h

Să presupunem că catetele bazei măsoară a = 8 cm și b = 6 cm, iar înălțimea este h = 9 cm. Mai întâi aflăm aria triunghiului din bază. La un triunghi dreptunghic este suficient să înmulțim catetele și să împărțim la doi:

$A_{b} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Avem aria bazei, deci volumul este

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Din paralelipiped am tăiat 72 de centimetri cubi de lemn.

Pentru siguranță verificăm rezultatul. Această piramidă poate fi așezată și pe altă față: fața din stânga este tot un triunghi dreptunghic, de data aceasta cu catetele b = 6 cm și h = 9 cm, iar perpendicular pe ea stă muchia a de 8 cm, care acum este înălțimea. Aria bazei este $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ , iar volumul

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Se potrivește. Piramida este aceeași, doar că stă altfel, deci trebuie să iasă același volum.

Calculator

Volumul unei piramide patrulatere regulate îl poți calcula și aici. Introdu latura bazei și înălțimea; unitățile se pot schimba la fiecare câmp.

Vezi și

Capitole: Volumul sferei, Volumul cilindrului, Volumul conului, Volumul cubului, Volumul paralelipipedului, Volumul prismei, Volumul piramidei

« Anterior: Volumul prismei

Următor: Conice »