Volume d’une pyramide

La pyramide est un solide que tu connais grâce aux pyramides d’Égypte. En bas, elle a une base, le plus souvent un carré, et de ses côtés montent des faces triangulaires qui se rejoignent en un seul point en haut, le sommet. Le volume d’une pyramide indique combien de sable on pourrait mettre dans une telle pyramide si elle était creuse.

Pyramide de base d’aire A_b et de hauteur h

La base est coloriée en rouge ; on note A_b son aire. La hauteur de la pyramide h est tracée en bleu : c’est la distance entre le sommet et la base. La hauteur est perpendiculaire à la base, donc on ne la mesure pas le long d’une face inclinée, mais verticalement, en descendant depuis le sommet.

Formule du volume d’une pyramide

Si tu cherches seulement la formule, le volume V d’une pyramide dont la base a pour aire A_b et dont la hauteur est h se calcule ainsi :

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

Le cas le plus courant est la pyramide régulière à base carrée, c’est-à-dire une pyramide dont la base est un carré de côté a. L’aire de la base est alors l’aire du carré A_b = a² et la formule devient :

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Par exemple, une pyramide dont la base a un côté a = 6 et dont la hauteur est h = 5 a pour volume

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Pourquoi un tiers ?

Sans ce tiers, la formule A_b · h donnerait le volume d’un prisme de même base et de même hauteur. Une pyramide est donc le tiers d’un prisme. Pourquoi un tiers, justement ? On peut très bien le montrer avec un cube.

Prenons un cube d’arête a et l’un de ses sommets, en orange sur la figure. Depuis ce sommet, construisons des pyramides dont les bases sont les trois faces du cube qui ne touchent pas le sommet orange : celle du dessous, celle du fond et celle de droite. On obtient trois pyramides, une rouge, une bleue et une verte. Ensemble, elles remplissent tout le cube, sans laisser de place et sans se chevaucher :

Cube découpé en trois pyramides identiques ayant un sommet commun

Les trois pyramides sont identiques, chacune est simplement placée autrement. Chacune a pour base une face du cube, donc un carré d’aire a², et chacune a pour hauteur a, car son sommet est à une distance de la face opposée égale exactement à l’arête du cube. Le volume du cube est a³ et il se partage en parts égales entre les trois pyramides, donc chacune a pour volume

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

C’est exactement notre formule.

Le cube n’est bien sûr qu’un cas particulier, mais le tiers se conserve dans les autres cas. Si l’on étire le cube en hauteur ou en largeur, il devient un pavé droit et les trois pyramides s’étirent de la même façon : chacune reste un tiers du pavé. Et si l’on incline une pyramide, son volume ne change pas. Imagine-la empilée à partir de fines plaques, comme une cheminée faite de carrés de plus en plus petits. Si l’on décale les plaques sur le côté, on obtient une pyramide penchée, mais les plaques sont toujours les mêmes et occupent la même place. Cette astuce s’appelle le principe de Cavalieri. Elle fonctionne aussi pour des pyramides dont la base a une autre forme : si deux pyramides ont des bases de même aire et la même hauteur, leurs plaques ont la même aire à chaque hauteur, que la base soit un carré ou un triangle, et elles ont donc le même volume. C’est pourquoi la formule

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

est valable pour toute pyramide, droite ou penchée, à base carrée, rectangulaire ou triangulaire. Attention seulement à la pyramide penchée : sa hauteur reste la distance verticale entre le sommet et la base, et non la longueur d’une arête inclinée.

Tu retrouveras le même tiers pour le volume d’un cône : un cône est le tiers d’un cylindre de même base et de même hauteur. En effet, un cône peut être vu comme une pyramide dont la base est un disque au lieu d’un carré.

Exemple : la pyramide de Khéops

La plus grande pyramide d’Égypte, celle de Khéops à Gizeh, avait à l’origine une base carrée d’environ 230 mètres de côté et une hauteur d’environ 146 mètres. Aujourd’hui, elle est plus basse d’une huitaine de mètres, car il lui manque son sommet et son revêtement extérieur. Combien de pierre a-t-elle pu contenir ?

Commençons par la base, un carré de 230 mètres de côté :

$A_{b} = 230^{2} = 52 900$

La base occupe 52 900 mètres carrés, soit environ sept terrains de football. On en déduit le volume :

$V = \frac{1}{3} \cdot 52 900 \cdot 146$

Multiplions :

$V = \frac{1}{3} \cdot 7 723 400$

Il reste à diviser par trois :

$V \approx 2 574 467$

La pyramide de Khéops a un volume d’environ 2,6 millions de mètres cubes. Si on la démontait pour remplir de pierres des piscines olympiques de 50 mètres de long, 25 de large et 2 de profondeur, soit un volume de 2 500 mètres cubes, on en remplirait plus de mille.

L’oubli du tiers coûte ici très cher. Celui qui l’omet obtient plus de 7,7 millions de mètres cubes et construit en pensée deux pyramides de trop.

Quand on ne connaît pas la hauteur

Souvent, on n’a pas la hauteur de la pyramide sous la main, mais on connaît la longueur de l’arête latérale s, c’est-à-dire l’arête qui va d’un coin de la base jusqu’au sommet. C’est le cas d’une vraie construction : il est plus facile d’atteindre l’arête avec un mètre que la hauteur verticale à l’intérieur.

La hauteur h, l’arête latérale s et la moitié de la diagonale de la base (en rouge) forment un triangle rectangle, colorié en vert sur la figure :

La hauteur h, la moitié de la diagonale et l’arête latérale s forment un triangle rectangle

La hauteur tombe du sommet au centre du carré, et la distance du centre à un coin est exactement la moitié de la diagonale du carré. La diagonale d’un carré de côté a mesure $u = a \cdot \sqrt{2}$ . L’arête latérale s est l’hypoténuse du triangle, donc d’après le théorème de Pythagore on a

$s^{2} = h^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

On en tire la hauteur :

$h = \sqrt{s^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Exemple : devant le Louvre, à Paris, se dresse une pyramide de verre à base carrée de 35,4 mètres de côté, dont les arêtes latérales mesurent environ 33,1 mètres. Quelle quantité d’air y a-t-il à l’intérieur ?

Commençons par la diagonale de la base :

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

La moitié de la diagonale vaut donc environ 25,03 mètres. Dans la formule de la hauteur, cela donne :

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Élevons au carré :

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Puis prenons la racine carrée :

$h \approx 21, 66$

La pyramide mesure environ 21,66 mètres de haut. Cela concorde : la hauteur officielle est de 21,64 mètres. Avec la hauteur, on calcule le volume :

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Il y a donc environ 9 000 mètres cubes d’air à l’intérieur de la pyramide. Il y aurait de la place pour presque trois cents pyramides de cette taille dans celle de Khéops.

Pyramide à base différente

La base d’une pyramide n’est pas forcément un carré. La formule $V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$ fonctionne pour n’importe quelle base, il suffit à chaque fois de calculer autrement son aire A_b.

Essaie de scier un coin dans un pavé droit en bois, par une coupe oblique passant par les trois sommets voisins de ce coin. Le morceau coupé est une pyramide à base triangulaire : sa base est un triangle rectangle et sa hauteur est l’arête verticale du pavé, perpendiculaire à la base.

Pyramide à base triangulaire, de base un triangle rectangle de côtés de l’angle droit a, b et de hauteur h

Supposons que les côtés de l’angle droit de la base mesurent a = 8 cm et b = 6 cm, et que la hauteur soit h = 9 cm. Calculons d’abord l’aire du triangle de la base. Pour un triangle rectangle, il suffit de multiplier les côtés de l’angle droit et de diviser par deux :

$A_{b} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

On a l’aire de la base, donc le volume vaut :

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

On a donc scié 72 centimètres cubes de bois dans le pavé.

Pour être sûr, vérifions le résultat. On peut aussi poser cette pyramide sur une autre face : la face de gauche est elle aussi un triangle rectangle, cette fois de côtés de l’angle droit b = 6 cm et h = 9 cm, et l’arête a de 8 cm lui est perpendiculaire : c’est maintenant la hauteur. L’aire de la base est $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ et le volume

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Ça concorde. La pyramide est toujours la même, elle est simplement posée autrement, donc on doit trouver le même volume.

Calculatrice

Tu peux aussi calculer ici le volume d’une pyramide régulière à base carrée. Il suffit de saisir le côté de la base et la hauteur ; les unités se changent pour chaque champ.

Voir aussi

Chapitres: Volume d’une boule, Volume d’un cylindre, Volume d’un cône, Volume d’un cube, Volume d’un pavé droit, Volume d’un prisme, Volume d’une pyramide

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