Volumen einer Pyramide

Die Pyramide ist ein Körper, den du von den ägyptischen Pyramiden kennst. Unten hat sie eine Grundfläche, meistens ein Quadrat, und von deren Kanten steigen dreieckige Seitenflächen auf, die sich oben in einem Punkt treffen, in der Spitze. Das Volumen der Pyramide verrät, wie viel Sand in eine solche Pyramide passen würde, wenn sie hohl wäre.

Pyramide mit der Grundfläche A_G und der Höhe h

Rot ist die Grundfläche eingefärbt, ihren Flächeninhalt bezeichnen wir mit A_G. Blau ist die Höhe der Pyramide h eingezeichnet – der Abstand der Spitze von der Grundfläche. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche, wir messen sie also nicht entlang der schrägen Seitenfläche, sondern senkrecht nach unten von der Spitze.

Formel für das Volumen einer Pyramide

Wenn du nur die Formel suchst: Das Volumen V einer Pyramide, deren Grundfläche den Flächeninhalt A_G hat und deren Höhe h ist, berechnest du als

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{G} \cdot h$

Am häufigsten ist die regelmäßige quadratische Pyramide, also eine Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche der Seitenlänge a. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist dann der Flächeninhalt des Quadrats A_G = a², und die Formel sieht so aus:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Eine Pyramide mit der Seitenlänge der Grundfläche a = 6 und der Höhe h = 5 hat zum Beispiel das Volumen

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Warum steht darin ein Drittel?

Ohne das Drittel würde die Formel A_G · h das Volumen des Prismas mit der gleichen Grundfläche und der gleichen Höhe ergeben. Die Pyramide ist also ein Drittel des Prismas. Warum gerade ein Drittel, lässt sich schön an einem Würfel zeigen.

Nimm einen Würfel mit der Kantenlänge a und darin eine Ecke, in der Abbildung orange. Von ihr aus spannen wir Pyramiden zu den drei Seitenflächen des Würfels auf, die die orange Ecke nicht berühren: zur unteren, zur hinteren und zur rechten. Es entstehen drei Pyramiden, eine rote, eine blaue und eine grüne. Zusammen füllen sie den ganzen Würfel aus, es bleibt kein Platz übrig, und keine überlappt die andere:

Würfel, zerlegt in drei gleiche Pyramiden mit gemeinsamer Spitze

Alle drei Pyramiden sind gleich, nur liegt jede anders. Jede hat als Grundfläche eine Seitenfläche des Würfels, also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt a², und jede hat die Höhe a, weil ihre Spitze von der gegenüberliegenden Fläche genau um eine Würfelkante entfernt ist. Das Volumen des Würfels ist a³ und teilt sich zu gleichen Teilen auf die drei Pyramiden auf, sodass jede das Volumen

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_{G} \cdot h$

hat. Und das ist genau unsere Formel.

Der Würfel ist natürlich nur ein konkreter Fall, aber das Drittel bleibt auch woanders erhalten. Wenn wir den Würfel in die Höhe oder in die Breite strecken, wird aus ihm ein Quader, und genauso strecken sich auch alle drei Pyramiden – jede von ihnen ist weiterhin ein Drittel des Quaders. Und wenn man eine Pyramide schief neigt, ändert sich ihr Volumen nicht. Stell dir vor, du setzt sie aus dünnen Scheiben zusammen, wie einen Schornstein aus immer kleineren Quadraten. Wenn wir die Scheiben zur Seite verschieben, entsteht eine schiefe Pyramide, aber die Scheiben sind immer noch dieselben und nehmen gleich viel Platz ein. Dieser Trick heißt Prinzip von Cavalieri. Er funktioniert auch bei Pyramiden mit unterschiedlich geformter Grundfläche: Haben zwei Pyramiden eine gleich große Grundfläche und die gleiche Höhe, haben die Scheiben in jeder Höhe den gleichen Flächeninhalt, ob die Grundfläche nun ein Quadrat oder ein Dreieck ist, und so haben beide auch das gleiche Volumen. Deshalb gilt die Formel

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{G} \cdot h$

für wirklich jede Pyramide, gerade oder schief, mit quadratischer, rechteckiger oder dreieckiger Grundfläche. Nur Vorsicht bei der schiefen Pyramide: Die Höhe ist bei ihr immer noch der senkrechte Abstand der Spitze von der Grundfläche, nicht die Länge der schrägen Kante.

Auf dasselbe Drittel stößt du auch beim Volumen des Kegels: Der Kegel ist ein Drittel des Zylinders mit der gleichen Grundfläche und der gleichen Höhe. Einen Kegel kannst du dir nämlich als Pyramide vorstellen, die als Grundfläche statt eines Quadrats einen Kreis hat.

Beispiel: Die Cheops-Pyramide

Die größte ägyptische Pyramide, die Cheops-Pyramide in Gizeh, hatte ursprünglich eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von etwa 230 Metern und war etwa 146 Meter hoch. Heute ist sie etwa acht Meter niedriger, weil ihr die Spitze und die äußere Verkleidung fehlen. Wie viel Stein passte in sie hinein?

Zuerst die Grundfläche, das ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 230 Meter:

$A_{G} = 230^{2} = 52.900$

Die Grundfläche nimmt 52.900 Quadratmeter ein, das sind etwa sieben Fußballfelder. Daraus berechnen wir nun das Volumen:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52.900 \cdot 146$

Wir multiplizieren:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7.723 .400$

Es bleibt noch, durch drei zu teilen:

$V \approx 2.574 .467$

Die Cheops-Pyramide hat ein Volumen von etwa 2,6 Millionen Kubikmetern. Würden wir sie abtragen und mit den Steinen olympische Schwimmbecken füllen, jedes 50 Meter lang, 25 breit und 2 tief, also mit einem Volumen von 2.500 Kubikmetern, könnten wir über tausend davon füllen.

Das vergessene Drittel macht sich hier ordentlich bemerkbar. Wer es weglässt, erhält über 7,7 Millionen Kubikmeter und baut in Gedanken gleich zwei Pyramiden zu viel.

Wenn wir die Höhe nicht kennen

Oft haben wir die Höhe der Pyramide aber nicht zur Hand, kennen dafür die Länge der Seitenkante s – das ist die Kante, die von einer Ecke der Grundfläche zur Spitze führt. So ist es zum Beispiel bei einem echten Bauwerk: An die Kante kommst du mit dem Maßband leichter heran als an die senkrechte Höhe im Inneren.

Die Höhe h, die Seitenkante s und die halbe Diagonale der Grundfläche (rot) bilden ein rechtwinkliges Dreieck, in der Abbildung ist es grün eingefärbt:

Die Höhe h, die halbe Diagonale und die Seitenkante s bilden ein rechtwinkliges Dreieck

Die Höhe führt von der Spitze zum Mittelpunkt des Quadrats, und der Abstand vom Mittelpunkt zur Ecke ist genau die Hälfte der Diagonale des Quadrats. Die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge a ist $u = a \cdot \sqrt{2}$ lang. Die Seitenkante s ist die Hypotenuse des Dreiecks, nach dem Satz des Pythagoras gilt also

$s^{2} = h^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

Daraus lösen wir nach der Höhe auf:

$h = \sqrt{s^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Beispiel: Vor dem Pariser Louvre steht eine gläserne Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit der Seitenlänge 35,4 Meter und mit Seitenkanten von etwa 33,1 Metern Länge. Wie viel Luft ist darin?

Wir beginnen mit der Diagonale der Grundfläche:

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Die halbe Diagonale ist also ungefähr 25,03 Meter lang. In der Formel für die Höhe sieht das so aus:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Wir quadrieren:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Und ziehen die Wurzel:

$h \approx 21, 66$

Die Pyramide ist etwa 21,66 Meter hoch. Das passt, die offiziell angegebene Höhe beträgt 21,64 Meter. Mit der Höhe berechnen wir nun das Volumen:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

In der Pyramide sind etwa 9.000 Kubikmeter Luft. Von solchen Pyramiden würden fast dreihundert in die Cheops-Pyramide passen.

Pyramide mit anderer Grundfläche

Die Grundfläche einer Pyramide muss kein Quadrat sein. Die Formel $V = \frac{1}{3} \cdot A_{G} \cdot h$ funktioniert für jede Grundfläche, nur wird der Flächeninhalt A_G jedes Mal anders berechnet.

Versuche einmal, mit einer Säge von einem Holzquader eine Ecke mit einem schrägen Schnitt abzusägen, der durch die drei benachbarten Ecken verläuft. Das abgesägte Stück ist eine dreiseitige Pyramide: Ihre Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck, und ihre Höhe ist die vertikale Kante des Quaders, die senkrecht auf der Grundfläche steht.

Dreiseitige Pyramide mit rechtwinkliger Grundfläche mit den Katheten a, b und der Höhe h

Sagen wir, die Katheten der Grundfläche messen a = 8 cm und b = 6 cm, und die Höhe ist h = 9 cm. Zuerst bestimmen wir den Flächeninhalt des Dreiecks in der Grundfläche. Beim rechtwinkligen Dreieck genügt es, die Katheten zu multiplizieren und durch zwei zu teilen:

$A_{G} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Den Flächeninhalt der Grundfläche haben wir, also ergibt sich das Volumen:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Vom Quader haben wir 72 Kubikzentimeter Holz abgesägt.

Zur Sicherheit überprüfen wir das Ergebnis. Diese Pyramide lässt sich auch auf eine andere Fläche legen: Die linke Fläche ist ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck, diesmal mit den Katheten b = 6 cm und h = 9 cm, und senkrecht darauf steht die Kante a mit der Länge 8 cm, die jetzt die Höhe ist. Der Flächeninhalt der Grundfläche ist $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ und das Volumen

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Es stimmt. Die Pyramide ist immer noch dieselbe, sie liegt nur anders, und deshalb muss das gleiche Volumen herauskommen.

Rechner

Das Volumen einer regelmäßigen quadratischen Pyramide kannst du auch hier berechnen. Gib einfach die Seitenlänge der Grundfläche und die Höhe ein, die Einheiten lassen sich bei jedem Feld umschalten.

Siehe auch

Kapitel: Volumen der Kugel, Volumen des Zylinders, Volumen des Kegels, Volumen des Würfels, Volumen des Quaders, Volumen des Prismas, Volumen einer Pyramide

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