Volume della piramide

La piramide è un solido che conosci dalle piramidi egizie. In basso ha una base, di solito un quadrato, e dai suoi spigoli salgono facce triangolari che in alto si incontrano in un unico punto, il vertice. Il volume della piramide ti dice quanta sabbia ci starebbe in una piramide del genere, se fosse vuota.

Piramide con base di area A_b e altezza h

In rosso è colorata la base, la cui area indicheremo con A_b. In blu è segnata l’altezza della piramide h, cioè la distanza del vertice dalla base. L’altezza è perpendicolare alla base, quindi non la misuriamo lungo la faccia inclinata, ma in verticale dal vertice verso il basso.

Formula per il volume della piramide

Se cerchi solo la formula, il volume V di una piramide la cui base ha area A_b e che ha altezza h si calcola così:

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

La più comune è la piramide quadrangolare regolare, cioè la piramide con base quadrata di lato a. L’area della base è allora l’area del quadrato A_b = a² e la formula diventa:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Per esempio, una piramide con lato di base a = 6 e altezza h = 5 ha volume

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Perché c’è un terzo?

Senza quel terzo la formula A_b · h darebbe il volume del prisma con la stessa base e la stessa altezza. La piramide è quindi un terzo del prisma. Perché proprio un terzo lo si può mostrare molto bene su un cubo.

Prendiamo un cubo di spigolo a e in esso un vertice, nella figura arancione. Da lì tiriamo le piramidi verso le tre facce del cubo che non toccano il vertice arancione: quella inferiore, quella posteriore e quella di destra. Si formano tre piramidi, una rossa, una blu e una verde. Insieme riempiono tutto il cubo, senza lasciare spazio vuoto e senza sovrapporsi:

Cubo scomposto in tre piramidi congruenti con il vertice in comune

Le tre piramidi sono uguali, solo che ciascuna è disposta in modo diverso. Ognuna ha per base una faccia del cubo, cioè un quadrato di area a², e ognuna ha altezza a, perché il suo vertice dista dalla faccia opposta esattamente uno spigolo del cubo. Il volume del cubo è a³ e si divide in parti uguali fra le tre piramidi, quindi ciascuna ha volume

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

E questa è proprio la nostra formula.

Il cubo è ovviamente solo un caso particolare, ma il terzo resiste anche altrove. Se allunghiamo il cubo in altezza o in larghezza, diventa un parallelepipedo e si allungano allo stesso modo anche tutte e tre le piramidi: ognuna è sempre un terzo del parallelepipedo. E se inclini una piramide, il suo volume non cambia. Immagina di costruirla con tante lastrine sottili, come una torre di quadratini sempre più piccoli. Se spostiamo le lastrine di lato, otteniamo una piramide obliqua, ma le lastrine sono sempre le stesse e occupano lo stesso spazio. Questo trucco si chiama principio di Cavalieri. Funziona anche per piramidi con basi di forma diversa: se due piramidi hanno basi della stessa area e la stessa altezza, le lastrine a ogni altezza hanno la stessa area, che la base sia un quadrato o un triangolo, e quindi hanno anche lo stesso volume. Perciò la formula

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

vale per qualsiasi piramide, retta o obliqua, con base quadrata, rettangolare o triangolare. Attenzione solo alla piramide obliqua: l’altezza è sempre la distanza verticale del vertice dalla base, non la lunghezza dello spigolo inclinato.

Ritroverai lo stesso terzo nel volume del cono: il cono è un terzo del cilindro con la stessa base e la stessa altezza. Il cono, infatti, si può considerare una piramide che al posto del quadrato ha come base un cerchio.

Esempio: la piramide di Cheope

La più grande piramide egizia, quella di Cheope a Giza, aveva in origine una base quadrata con il lato di circa 230 metri ed era alta circa 146 metri. Oggi è più bassa di circa otto metri, perché le mancano la punta e il rivestimento esterno. Quanta pietra ci stava dentro?

Per prima cosa la base, un quadrato di lato 230 metri:

$A_{b} = 230^{2} = 52.900$

La base occupa 52.900 metri quadrati, circa sette campi da calcio. Da qui calcoliamo il volume:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52.900 \cdot 146$

Moltiplichiamo:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7.723 .400$

Resta da dividere per tre:

$V \approx 2.574 .467$

La piramide di Cheope ha un volume di circa 2,6 milioni di metri cubi. Se la smontassimo e riempissimo di pietre piscine olimpioniche lunghe 50 metri, larghe 25 e profonde 2, cioè con un volume di 2500 metri cubi, ne riempiremmo più di mille.

Il terzo dimenticato qui si fa pagare caro. Chi lo omette ottiene più di 7,7 milioni di metri cubi e costruisce, con la fantasia, due piramidi in più.

Quando non conosciamo l’altezza

Spesso però l’altezza della piramide non ce l’abbiamo a portata di mano, mentre conosciamo la lunghezza dello spigolo laterale s, cioè lo spigolo che va da un vertice della base al vertice della piramide. È così, per esempio, in una costruzione reale: allo spigolo si arriva con il metro più facilmente che all’altezza verticale all’interno.

L’altezza h, lo spigolo laterale s e metà della diagonale della base (in rosso) formano un triangolo rettangolo, nella figura colorato di verde:

L’altezza h, metà della diagonale e lo spigolo laterale s formano un triangolo rettangolo

L’altezza cade dal vertice nel centro del quadrato e la distanza dal centro a un vertice della base è esattamente metà della diagonale del quadrato. La diagonale di un quadrato di lato a è lunga $u = a \cdot \sqrt{2}$ . Lo spigolo laterale s è l’ipotenusa del triangolo, quindi per il teorema di Pitagora vale

$s^{2} = h^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

Da qui ricaviamo l’altezza:

$h = \sqrt{s^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Esempio: davanti al Louvre di Parigi c’è una piramide di vetro con base quadrata di lato 35,4 metri e spigoli laterali lunghi circa 33,1 metri. Quanta aria c’è all’interno?

Cominciamo dalla diagonale della base:

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Metà della diagonale è quindi circa 25,03 metri. Nella formula dell’altezza diventa:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Eleviamo al quadrato:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Ed estraiamo la radice:

$h \approx 21, 66$

La piramide è alta circa 21,66 metri. I conti tornano: l’altezza ufficiale è di 21,64 metri. Con l’altezza in mano calcoliamo il volume:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

All’interno della piramide ci sono circa 9000 metri cubi di aria. Di piramidi così, in quella di Cheope ne starebbero quasi trecento.

Piramide con un’altra base

La base della piramide non deve essere per forza un quadrato. La formula $V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$ funziona con qualsiasi base, cambia solo, di volta in volta, il modo di calcolare la sua area A_b.

Prova a tagliare con una sega un angolo di un blocco di legno a forma di parallelepipedo, con un taglio obliquo che passa per i tre vertici vicini a quell’angolo. Il pezzo tagliato è una piramide triangolare: la sua base è un triangolo rettangolo e l’altezza è lo spigolo verticale del parallelepipedo, perpendicolare alla base.

Piramide triangolare con base a triangolo rettangolo di cateti a, b e altezza h

Diciamo che i cateti della base misurano a = 8 cm e b = 6 cm e che l’altezza è h = 9 cm. Troviamo prima l’area del triangolo di base. In un triangolo rettangolo basta moltiplicare i cateti e dividere per due:

$A_{b} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Abbiamo l’area della base, quindi il volume risulta:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Dal parallelepipedo abbiamo tagliato 72 centimetri cubi di legno.

Per sicurezza verifichiamo il risultato. Questa piramide si può appoggiare anche su un’altra faccia: la faccia sinistra è anch’essa un triangolo rettangolo, questa volta con cateti b = 6 cm e h = 9 cm, e perpendicolarmente a essa si alza lo spigolo a lungo 8 cm, che ora è l’altezza. L’area della base è $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ e il volume

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

I conti tornano. La piramide è sempre la stessa, solo appoggiata in modo diverso, e quindi deve venire lo stesso volume.

Calcolatore

Il volume di una piramide quadrangolare regolare puoi calcolarlo anche qui. Basta inserire il lato di base e l’altezza; l’unità di misura si può cambiare in ogni campo.

Vedi anche

Capitoli: Volume della sfera, Volume del cilindro, Volume del cono, Volume del cubo, Volume del parallelepipedo rettangolo, Volume del prisma, Volume della piramide

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