Volume da pirâmide

A pirâmide é um sólido que você conhece das pirâmides do Egito. Embaixo tem a base, na maioria das vezes um quadrado, e das arestas da base sobem faces triangulares que se encontram no alto em um único ponto, o vértice. O volume da pirâmide revela quanta areia caberia em uma pirâmide dessas, se ela fosse oca.

Pirâmide com base de área A_b e altura h

Em vermelho está pintada a base, cuja área vamos indicar por A_b. Em azul está marcada a altura da pirâmide h — a distância do vértice à base. A altura é perpendicular à base, então não a medimos ao longo da face inclinada, mas na vertical, descendo do vértice.

Fórmula do volume da pirâmide

Se você quer só a fórmula, o volume V de uma pirâmide cuja base tem área A_b e cuja altura é h é

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

A mais comum é a pirâmide quadrangular regular, isto é, a pirâmide com base quadrada de lado a. A área da base é, então, a área do quadrado A_b = a², e a fórmula fica assim:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Por exemplo, uma pirâmide com lado da base a = 6 e altura h = 5 tem volume

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Por que aparece um terço?

Sem esse terço, a fórmula A_b · h daria o volume do prisma com a mesma base e a mesma altura. A pirâmide é, então, um terço do prisma. Dá para mostrar de um jeito muito bonito, com o cubo, por que é justamente um terço.

Considere um cubo de aresta a e, nele, um canto, que na figura está em laranja. Desse canto estendemos agora pirâmides até as três faces do cubo que não tocam o canto laranja: a de baixo, a de trás e a da direita. Surgem três pirâmides, uma vermelha, uma azul e uma verde. Juntas, elas preenchem o cubo inteiro, sem sobrar espaço e sem se sobrepor:

Cubo decomposto em três pirâmides congruentes com um vértice em comum

As três pirâmides são iguais, só que cada uma está posicionada de um jeito. Cada uma tem como base uma face do cubo, ou seja, um quadrado de área a², e cada uma tem altura a, porque o seu vértice está distante da face oposta exatamente uma aresta do cubo. O volume do cubo é a³ e se divide em partes iguais entre as três pirâmides, de modo que cada uma tem volume

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

E essa é exatamente a nossa fórmula.

O cubo é, claro, apenas um caso particular, mas o terço vale também nos outros casos. Quando esticamos o cubo na altura ou na largura, ele vira um paralelepípedo, e as três pirâmides se esticam do mesmo jeito — cada uma continua sendo um terço do paralelepípedo. E quando inclinamos a pirâmide, o seu volume não muda. Imagine-a montada, na cabeça, com plaquinhas finas, como uma chaminé de quadradinhos cada vez menores. Se deslocarmos as plaquinhas para o lado, surge uma pirâmide oblíqua, mas as plaquinhas continuam as mesmas e ocupam o mesmo espaço. Esse truque se chama princípio de Cavalieri. Ele funciona também para pirâmides com bases de formatos diferentes: se duas pirâmides têm bases de mesma área e a mesma altura, as plaquinhas em cada altura têm a mesma área, seja a base um quadrado ou um triângulo, e por isso elas têm também o mesmo volume. Por isso a fórmula

$V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$

vale para absolutamente qualquer pirâmide, reta ou oblíqua, com base quadrada, retangular ou triangular. Só tome cuidado com a pirâmide oblíqua: nela, a altura continua sendo a distância vertical do vértice à base, e não o comprimento da aresta inclinada.

Você vai encontrar o mesmo terço no volume do cone: o cone é um terço do cilindro com a mesma base e a mesma altura. Afinal, o cone pode ser entendido como uma pirâmide que tem, na base, um círculo no lugar do quadrado.

Exemplo: a pirâmide de Quéops

A maior pirâmide do Egito, a de Quéops, em Gizé, tinha originalmente base quadrada com lado de cerca de 230 metros e altura de cerca de 146 metros. Hoje ela é uns oito metros mais baixa, porque lhe faltam o topo e o revestimento externo. Quanta pedra coube nela?

Primeiro a base, que é um quadrado de lado 230 metros:

$A_{b} = 230^{2} = 52.900$

A base ocupa 52.900 metros quadrados, o que dá cerca de sete campos de futebol. Com isso já calculamos o volume:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52.900 \cdot 146$

Multiplicamos:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7.723 .400$

Falta dividir por três:

$V \approx 2.574 .467$

A pirâmide de Quéops tem volume de cerca de 2,6 milhões de metros cúbicos. Se a desmontássemos e usássemos as pedras para encher piscinas olímpicas, cada uma com 50 metros de comprimento, 25 de largura e 2 de profundidade, ou seja, com volume de 2.500 metros cúbicos, encheríamos mais de mil delas.

O terço esquecido sai caro aqui. Quem o omitir obtém mais de 7,7 milhões de metros cúbicos e constrói, na cabeça, duas pirâmides a mais.

Quando não conhecemos a altura

Muitas vezes, porém, não temos a altura da pirâmide à mão, mas conhecemos o comprimento da aresta lateral l — a aresta que vai de um canto da base até o vértice. É assim, por exemplo, em uma construção real: chegar à aresta com uma trena é mais fácil do que chegar à altura vertical lá dentro.

A altura h, a aresta lateral l e a metade da diagonal da base (em vermelho) formam um triângulo retângulo, que na figura está pintado de verde:

A altura h, a metade da diagonal e a aresta lateral l formam um triângulo retângulo

A altura cai do vértice no centro do quadrado, e a distância do centro ao canto é exatamente a metade da diagonal do quadrado. A diagonal de um quadrado de lado a mede $u = a \cdot \sqrt{2}$ . A aresta lateral l é a hipotenusa do triângulo, então, pelo teorema de Pitágoras, vale

$l^{2} = h^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

Daí isolamos a altura:

$h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Exemplo: Diante do Louvre, em Paris, há uma pirâmide de vidro com base quadrada de lado 35,4 metros e com arestas laterais de cerca de 33,1 metros. Quanto ar há lá dentro?

Começamos pela diagonal da base:

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

A metade da diagonal é, então, de aproximadamente 25,03 metros. Na fórmula da altura isso fica assim:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Elevamos ao quadrado:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

E extraímos a raiz quadrada:

$h \approx 21, 66$

A pirâmide tem cerca de 21,66 metros de altura. Confere: a altura oficialmente divulgada é de 21,64 metros. Com a altura em mãos, calculamos o volume:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Dentro da pirâmide há cerca de 9.000 metros cúbicos de ar. Na pirâmide de Quéops caberiam quase trezentas pirâmides dessas.

Pirâmide com outra base

A base da pirâmide não precisa ser um quadrado. A fórmula $V = \frac{1}{3} \cdot A_{b} \cdot h$ funciona para qualquer base, só que a cada vez a área A_b dela é calculada de um jeito diferente.

Experimente cortar com uma serra, de um bloco de madeira em forma de paralelepípedo, um canto com um corte inclinado que passe pelos três cantos vizinhos a ele. O pedaço cortado é uma pirâmide triangular: a sua base é um triângulo retângulo e a altura é a aresta vertical do bloco, perpendicular à base.

Pirâmide triangular com base em triângulo retângulo de catetos a, b e altura h

Digamos que os catetos da base medem a = 8 cm e b = 6 cm e a altura é h = 9 cm. Primeiro encontramos a área do triângulo da base. Em um triângulo retângulo basta multiplicar os catetos e dividir por dois:

$A_{b} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Temos a área da base, então o volume é

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Do bloco, cortamos 72 centímetros cúbicos de madeira.

Por precaução, vamos conferir o resultado. Essa pirâmide também pode ser apoiada em outra face: a face da esquerda também é um triângulo retângulo, desta vez com catetos b = 6 cm e h = 9 cm, e perpendicular a ela está a aresta a de 8 cm, que agora é a altura. A área da base é $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ e o volume é

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Confere. A pirâmide é a mesma, só que apoiada de outro jeito, e por isso o volume tem de sair igual.

Calculadora

Você também pode calcular aqui o volume de uma pirâmide quadrangular regular. Basta informar o lado da base e a altura; você pode trocar as unidades em cada campo.

Veja também

Capítulos: Volume da esfera, Volume do cilindro, Volume do cone, Volume do cubo, Volume do paralelepípedo reto-retângulo, Volume do prisma, Volume da pirâmide

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