Objętość ostrosłupa

Ostrosłup to bryła, którą znasz z egipskich piramid. Na dole ma podstawę, najczęściej kwadrat, a z jej krawędzi wznoszą się trójkątne ściany, które u góry spotykają się w jednym punkcie, w wierzchołku. Objętość ostrosłupa podpowie, ile piasku zmieściłoby się w takiej piramidzie, gdyby była pusta w środku.

Na czerwono zaznaczona jest podstawa, jej pole będziemy oznaczać P_p. Na niebiesko zaznaczona jest wysokość ostrosłupa h — odległość wierzchołka od podstawy. Wysokość jest prostopadła do podstawy, więc nie mierzymy jej wzdłuż skośnej ściany, tylko pionowo w dół z wierzchołka.

Wzór na objętość ostrosłupa

Jeśli szukasz tylko wzoru, to objętość ostrosłupa V, którego podstawa ma pole P_p, a wysokość wynosi h, obliczysz ze wzoru

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot h$$

Najczęściej spotyka się ostrosłup prawidłowy czworokątny, czyli ostrosłup o podstawie kwadratowej o boku a. Pole podstawy to wtedy pole kwadratu P_p = a², a wzór wygląda tak:

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h$$

Na przykład ostrosłup o boku podstawy a = 6 i wysokości h = 5 ma objętość

$$V=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 5=\frac{1}{3}\cdot 180=60$$

Skąd się bierze jedna trzecia?

Bez tej jednej trzeciej wzór P_p · h dawałby objętość graniastosłupa o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości. Ostrosłup to zatem jedna trzecia graniastosłupa. Dlaczego akurat jedna trzecia, można pięknie pokazać na sześcianie.

Weźmy sześcian o krawędzi a i jeden jego wierzchołek, na rysunku pomarańczowy. Z niego poprowadzimy teraz ostrosłupy do trzech ścian sześcianu, które nie dotykają pomarańczowego wierzchołka: do dolnej, tylnej i prawej. Powstaną trzy ostrosłupy, czerwony, niebieski i zielony. Razem wypełniają cały sześcian, nie zostaje żadne wolne miejsce i żadne się nie nakłada:

Wszystkie trzy ostrosłupy są takie same, tylko każdy leży inaczej. Każdy ma za podstawę jedną ścianę sześcianu, czyli kwadrat o polu a², i każdy ma wysokość a, bo jego wierzchołek jest oddalony od przeciwległej ściany dokładnie o krawędź sześcianu. Objętość sześcianu wynosi a³ i dzieli się po równo między trzy ostrosłupy, więc każdy ma objętość

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot h$$

I to jest dokładnie nasz wzór.

Sześcian to oczywiście tylko jeden szczególny przypadek, ale jedna trzecia sprawdza się także w innych. Jeśli sześcian rozciągniemy na wysokość albo na szerokość, zamieni się w prostopadłościan i tak samo rozciągną się wszystkie trzy ostrosłupy — każdy z nich nadal stanowi jedną trzecią prostopadłościanu. A kiedy ostrosłup przechylimy, jego objętość się nie zmieni. Złóżmy go w myślach z cienkich plasterków, jak komin z coraz mniejszych kwadracików. Gdy plasterki przesuniemy w bok, powstanie ostrosłup skośny, ale plasterki są wciąż te same i zajmują tyle samo miejsca. Ten trik nazywa się zasadą Cavalieriego. Działa też dla ostrosłupów o podstawach innego kształtu: jeśli dwa ostrosłupy mają podstawy o tym samym polu i taką samą wysokość, to plasterki na każdej wysokości mają to samo pole, niezależnie od tego, czy podstawą jest kwadrat, czy trójkąt, więc mają też taką samą objętość. Dlatego wzór

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot h$$

obowiązuje dla każdego ostrosłupa, prostego i skośnego, o podstawie kwadratowej, prostokątnej i trójkątnej. Tylko uważaj na ostrosłup skośny: jego wysokość to nadal pionowa odległość wierzchołka od podstawy, a nie długość skośnej krawędzi.

Na tę samą jedną trzecią natrafisz też przy objętości stożka: stożek to jedna trzecia walca o takiej samej podstawie i wysokości. Stożek można bowiem traktować jak ostrosłup, który ma w podstawie zamiast kwadratu koło.

Przykład: piramida Cheopsa

Największa egipska piramida, piramida Cheopsa w Gizie, miała pierwotnie podstawę kwadratową o boku około 230 metrów i wysokość około 146 metrów. Dziś jest niższa o jakieś osiem metrów, bo brakuje jej czubka i zewnętrznej okładziny. Ile kamienia się w niej zmieściło?

Najpierw podstawa, czyli kwadrat o boku 230 metrów:

$$P_p={230}^2=52900$$

Podstawa zajmuje 52 900 metrów kwadratowych, czyli mniej więcej siedem boisk piłkarskich. Stąd już obliczymy objętość:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 52900\cdot 146$$

Mnożymy:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 7723400$$

Pozostaje podzielić przez trzy:

$$V\approx 2574467$$

Piramida Cheopsa ma objętość około 2,6 miliona metrów sześciennych. Gdybyśmy ją rozebrali i kamieniami napełniali olimpijskie baseny, każdy długi na 50 metrów, szeroki na 25 i głęboki na 2, czyli o objętości 2500 metrów sześciennych, napełnilibyśmy ich ponad tysiąc.

Zapomniana jedna trzecia kosztuje tu naprawdę dużo. Kto ją pominie, dostanie ponad 7,7 miliona metrów sześciennych i w myślach postawi dwie piramidy więcej.

Gdy nie znamy wysokości

Często jednak nie mamy wysokości ostrosłupa pod ręką, za to znamy długość krawędzi bocznej l — to krawędź, która biegnie z wierzchołka podstawy do wierzchołka ostrosłupa. Tak jest na przykład przy prawdziwej budowli: do krawędzi z miarką dotrzesz łatwiej niż do pionowej wysokości w środku.

Wysokość h, krawędź boczna l i połowa przekątnej podstawy (na czerwono) tworzą trójkąt prostokątny, na rysunku zaznaczony na zielono:

Wysokość opada z wierzchołka na środek kwadratu, a odległość od środka do wierzchołka podstawy to dokładnie połowa przekątnej kwadratu. Przekątna kwadratu o boku a ma długość $d=a\cdot \sqrt{2}$. Krawędź boczna l jest przeciwprostokątną tego trójkąta, więc z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

$$l^2=h^2+{\left(\frac{d}{2}\right)}^2.$$

Stąd wyznaczamy wysokość:

$$h=\sqrt{l^2-{\left(\frac{d}{2}\right)}^2}$$

Przykład: Przed paryskim Luwrem stoi szklana piramida o podstawie kwadratowej o boku 35,4 metra i krawędziach bocznych o długości około 33,1 metra. Ile powietrza jest w środku?

Zaczniemy od przekątnej podstawy:

$$d=a\cdot \sqrt{2}=35,4\cdot \sqrt{2}\approx 50,06$$

Połowa przekątnej to więc około 25,03 metra. We wzorze na wysokość wygląda to tak:

$$h=\sqrt{33,1^2-25,{03}^2}$$

Podnosimy do kwadratu:

$$h=\sqrt{1095,61-626,50}=\sqrt{469,11}$$

I wyciągamy pierwiastek:

$$h\approx 21,66$$

Piramida ma wysokość około 21,66 metra. Zgadza się, oficjalnie podawana wysokość to 21,64 metra. Mając wysokość, obliczamy objętość:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 35,4^2\cdot 21,66=\frac{1}{3}\cdot 1253,16\cdot 21,66\approx 9048$$

W środku piramidy jest mniej więcej 9000 metrów sześciennych powietrza. Takich piramid zmieściłoby się w piramidzie Cheopsa prawie trzysta.

Ostrosłup o innej podstawie

Podstawa ostrosłupa nie musi być kwadratem. Wzór $V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot h$ działa dla dowolnej podstawy, tylko za każdym razem inaczej oblicza się jej pole P_p.

Spróbuj odciąć piłą od drewnianego prostopadłościanu róg skośnym cięciem, które biegnie przez trzy sąsiadujące z nim wierzchołki. Odcięty kawałek to ostrosłup trójkątny: jego podstawą jest trójkąt prostokątny, a wysokością pionowa krawędź prostopadłościanu, która jest prostopadła do podstawy.

Załóżmy, że przyprostokątne podstawy mają a = 8 cm i b = 6 cm, a wysokość to h = 9 cm. Najpierw obliczymy pole trójkąta w podstawie. W trójkącie prostokątnym wystarczy pomnożyć przyprostokątne i podzielić przez dwa:

$$P_p=\frac{a\cdot b}{2}=\frac{8\cdot 6}{2}=24$$

Mamy pole podstawy, więc objętość wychodzi

$$V=\frac{1}{3}\cdot 24\cdot 9=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Z prostopadłościanu odcięliśmy 72 centymetry sześcienne drewna.

Dla pewności sprawdźmy wynik. Ten ostrosłup można położyć także na innej ścianie: lewa ściana to również trójkąt prostokątny, tym razem o przyprostokątnych b = 6 cm i h = 9 cm, a prostopadle do niej stoi krawędź a o długości 8 cm, która jest teraz wysokością. Pole podstawy wynosi $\frac{6\cdot 9}{2}=27$, a objętość

$$V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 216=72$$

Zgadza się. Ostrosłup jest wciąż ten sam, tylko leży inaczej, więc objętość musi wyjść taka sama.

Kalkulator

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego możesz obliczyć także tutaj. Wystarczy wpisać bok podstawy i wysokość, a jednostki można przełączyć przy każdym polu.

Zobacz też

• Objętość graniastosłupa
• Objętość stożka
• Pole powierzchni ostrosłupa