Gúla térfogata

A gúla olyan test, amelyet az egyiptomi piramisokról ismersz. Alul van egy alapja, leggyakrabban négyzet, az élei mentén pedig háromszög alakú lapok emelkednek, amelyek felül egyetlen pontban, a csúcsban találkoznak. A gúla térfogata megmondja, mennyi homok férne el egy ilyen piramisban, ha üreges lenne.

Gúla T_a alapterülettel és m magassággal

Pirossal az alap van kiszínezve, a területét T_a-val jelöljük. Kékkel a gúla m magassága van jelölve – a csúcs távolsága az alaptól. A magasság merőleges az alapra, tehát nem a ferde lap mentén mérjük, hanem függőlegesen lefelé a csúcsból.

A gúla térfogatának képlete

Ha csak a képletre van szükséged, akkor annak a gúlának a V térfogatát, amelynek alapja T_a területű, magassága pedig m, így számíthatod ki:

$V = \frac{1}{3} \cdot T_{a} \cdot m$

A leggyakoribb a négyzet alapú egyenes gúla, vagyis az olyan gúla, amelynek alapja a oldalú négyzet. Az alap területe ekkor a négyzet területe, T_a = a², a képlet pedig így néz ki:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot m$

Például annak a gúlának, amelynek alapéle a = 6, magassága pedig m = 5, a térfogata

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Miért szerepel benne az egyharmad?

Az egyharmad nélkül a T_a · m képlet az azonos alapú és azonos magasságú hasáb térfogatát adná. A gúla tehát a hasáb egyharmada. Hogy miért éppen egyharmad, azt remekül meg lehet mutatni egy kockán.

Vegyünk egy a élű kockát, és jelöljünk ki rajta egy csúcsot, az ábrán narancssárga. Ebből a csúcsból most gúlákat feszítünk a kocka három olyan lapjáig, amelyek nem érintik a narancssárga csúcsot: az alsóig, a hátsóig és a jobb oldaliig. Három gúla keletkezik: egy piros, egy kék és egy zöld. Együtt kitöltik az egész kockát, nem marad üres hely, és nem fedik egymást:

Három egybevágó gúlára felbontott kocka közös csúccsal

Mindhárom gúla ugyanolyan, csak mindegyik másképp fekszik. Mindegyiknek egy kockalap az alapja, vagyis a² területű négyzet, és mindegyik magassága a, mert a csúcsa éppen a kocka élének hosszával van távol a szemközti laptól. A kocka térfogata a³, és ez egyenlően oszlik el a három gúla között, így mindegyik térfogata

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot T_{a} \cdot m$

Ez pontosan a mi képletünk.

A kocka persze csak egyetlen konkrét eset, de az egyharmad másutt is megmarad. Ha a kockát magasságban vagy szélességben megnyújtjuk, téglatest lesz belőle, és mindhárom gúla ugyanígy megnyúlik – mindegyik továbbra is a téglatest egyharmada. És ha a gúlát megdöntjük, a térfogata nem változik. Rakjuk össze gondolatban vékony lapocskákból, mint egy kéményt egyre kisebb négyzetekből. Ha a lapocskákat oldalra eltoljuk, ferde gúla keletkezik, de a lapocskák ugyanazok maradnak, és ugyanakkora helyet foglalnak el. Ezt a fogást Cavalieri-elvnek hívják. Ez különböző alakú alapú gúlákra is működik: ha két gúla alapja egyenlő területű és a magasságuk is egyenlő, akkor a lapocskák minden magasságban ugyanakkora területűek, akár négyzet, akár háromszög az alap, és így a térfogatuk is egyenlő. Ezért a

$V = \frac{1}{3} \cdot T_{a} \cdot m$

képlet minden gúlára érvényes, egyenesre és ferdére, négyzet, téglalap és háromszög alapúra egyaránt. Ferde gúlánál csak arra figyelj, hogy a magasság továbbra is a csúcs függőleges távolsága az alaptól, nem a ferde él hossza.

Ugyanezzel az egyharmaddal találkozol a kúp térfogatánál is: a kúp a vele azonos alapú és magasságú henger egyharmada. A kúp ugyanis felfogható úgy is, mint egy gúla, amelynek alapja négyzet helyett kör.

Példa: Kheopsz piramisa

A legnagyobb egyiptomi piramis, a gízai Kheopsz-piramis eredetileg körülbelül 230 méter oldalú négyzet alapú volt, és körülbelül 146 méter magas. Ma nagyjából nyolc méterrel alacsonyabb, mert hiányzik a csúcsa és a külső burkolata. Mennyi kő fért bele?

Először az alap, ez egy 230 méter oldalú négyzet:

$T_{a} = 230^{2} = 52 900$

Az alap 52 900 négyzetméter, ami nagyjából hét futballpálya. Ebből már ki tudjuk számítani a térfogatot:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52 900 \cdot 146$

Összeszorozzuk:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7 723 400$

Már csak el kell osztani hárommal:

$V \approx 2 574 467$

A Kheopsz-piramis térfogata körülbelül 2,6 millió köbméter. Ha szétszednénk, és a kövekkel olimpiai úszómedencéket töltenénk meg, amelyek mindegyike 50 méter hosszú, 25 széles és 2 mély, vagyis 2500 köbméter térfogatú, több mint ezret töltenénk meg.

Az elfelejtett egyharmad itt szépen megbosszulja magát. Aki kihagyja, több mint 7,7 millió köbmétert kap, és gondolatban két piramissal többet épít.

Ha nem ismerjük a magasságot

A gúla magassága gyakran nincs kéznél, viszont ismerjük az s oldalél hosszát – ez az az él, amely az alap sarkából vezet a csúcsba. Így van ez például egy valódi építménynél: az élhez méterrel könnyebben hozzáférsz, mint a belsejében lévő függőleges magassághoz.

Az m magasság, az s oldalél és az alap átlójának fele (pirossal) derékszögű háromszöget alkot, az ábrán zölddel van kiszínezve:

Az m magasság, az átló fele és az s oldalél derékszögű háromszöget alkot

A magasság a csúcsból a négyzet középpontjába érkezik, a középponttól a sarokig mért távolság pedig éppen a négyzet átlójának fele. Az a oldalú négyzet átlója $e = a \cdot \sqrt{2}$ hosszú. Az s oldalél a háromszög átfogója, ezért a Pitagorasz-tétel szerint

$s^{2} = m^{2} + {(\frac{e}{2})}^{2} .$

Innen kifejezzük a magasságot:

$m = \sqrt{s^{2} - {(\frac{e}{2})}^{2}}$

Példa: A párizsi Louvre előtt egy üvegpiramis áll, amelynek alapja 35,4 méter oldalú négyzet, az oldalélei pedig körülbelül 33,1 méter hosszúak. Mennyi levegő van benne?

Kezdjük az alap átlójával:

$e = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Az átló fele tehát körülbelül 25,03 méter. A magasság képletében ez így néz ki:

$m = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Négyzetre emelünk:

$m = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Majd gyököt vonunk:

$m \approx 21, 66$

A piramis körülbelül 21,66 méter magas. Ez stimmel, a hivatalosan megadott magasság 21,64 méter. A magasság birtokában kiszámítjuk a térfogatot:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

A piramis belsejében nagyjából 9000 köbméter levegő van. Ilyen piramisból közel háromszáz férne el a Kheopsz-piramisban.

Gúla más alappal

A gúla alapja nem feltétlenül négyzet. A $V = \frac{1}{3} \cdot T_{a} \cdot m$ képlet bármilyen alapra működik, csak minden alkalommal másképp számítjuk ki a T_a alapterületet.

Próbálj meg fűrésszel levágni egy fa téglatestről egy sarkot olyan ferde vágással, amely a vele szomszédos három csúcson megy át. A levágott darab háromoldalú gúla: az alapja derékszögű háromszög, a magassága pedig a téglatest függőleges éle, amely merőlegesen áll az alapon.

Háromoldalú gúla derékszögű háromszög alappal, amelynek befogói a, b, magassága pedig m

Tegyük fel, hogy az alap befogói a = 8 cm és b = 6 cm, a magasság pedig m = 9 cm. Először kiszámítjuk az alapban lévő háromszög területét. Derékszögű háromszögnél elég a befogókat összeszorozni, és elosztani kettővel:

$T_{a} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Az alap területe megvan, így a térfogat:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

A téglatestből tehát 72 köbcentiméternyi fát vágtunk le.

Biztos, ami biztos, ellenőrizzük az eredményt. Ez a gúla másik lapjára is ráfektethető: a bal oldali lap is derékszögű háromszög, ezúttal b = 6 cm és m = 9 cm befogókkal, és merőlegesen áll rajta az a él, amelynek hossza 8 cm, és amely most a magasság. Az alap területe $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ , a térfogat pedig

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Stimmel. A gúla ugyanaz maradt, csak másképp fekszik, ezért ugyanannyi térfogatnak kell kijönnie.

Számológép

A négyzet alapú egyenes gúla térfogatát itt is kiszámíthatod. Csak add meg az alapél hosszát és a magasságot, a mértékegységet mindegyik mezőnél át lehet állítani.

Lásd még

Fejezetek: Gömb térfogata, Henger térfogata, Kúp térfogata, Kocka térfogata, Téglatest térfogata, Hasáb térfogata, Gúla térfogata

« Előző: Hasáb térfogata

Következő: Kúpszeletek »