Pyramidens volym

En pyramid är en kropp som du känner igen från de egyptiska pyramiderna. Nedtill har den en bas, oftast en kvadrat, och från basens kanter reser sig triangelformade sidoytor som möts uppe i en punkt, spetsen. Pyramidens volym avslöjar hur mycket sand som skulle rymmas i en sådan pyramid om den vore ihålig.

Pyramid med basen B och höjden h

Basen är färgad röd, och dess area betecknar vi B. Med blått är pyramidens höjd h markerad — avståndet från spetsen till basen. Höjden står vinkelrätt mot basen, så vi mäter den inte längs den sneda sidoytan utan lodrätt ner från spetsen.

Formeln för pyramidens volym

Om du bara letar efter formeln: volymen V för en pyramid vars bas har arean B och som har höjden h beräknar du som

$V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$

Vanligast är den regelbundna fyrsidiga pyramiden, alltså en pyramid med kvadratisk bas med sidan a. Basens area är då kvadratens area B = a², och formeln ser ut så här:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Till exempel har en pyramid med basens sida a = 6 och höjden h = 5 volymen

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Varför just en tredjedel?

Utan tredjedelen skulle formeln B · h ge prismats volym med samma bas och samma höjd. Pyramiden är alltså en tredjedel av prismat. Varför just en tredjedel kan vi visa fint på en kub.

Vi tar en kub med kanten a och ett hörn av den, i figuren orange. Från det hörnet drar vi nu pyramider till de tre sidoytor på kuben som inte rör vid det orange hörnet: den undre, den bakre och den högra. Det bildas tre pyramider, en röd, en blå och en grön. Tillsammans fyller de hela kuben, utan att något utrymme blir över och utan att något överlappar:

Kub uppdelad i tre likadana pyramider med gemensam spets

Alla tre pyramiderna är likadana, bara placerade olika. Var och en har som bas en sidoyta på kuben, alltså en kvadrat med arean a², och var och en har höjden a, eftersom dess spets ligger exakt en kantlängd från den motstående sidoytan. Kubens volym är a³ och delas lika mellan de tre pyramiderna, så var och en har volymen

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$

Och det är precis vår formel.

Kuben är förstås bara ett särskilt fall, men tredjedelen håller även i andra fall. Om vi drar ut kuben på höjden eller bredden blir den ett rätblock, och alla tre pyramiderna dras ut på samma sätt — var och en är fortfarande en tredjedel av rätblocket. Och om vi lutar pyramiden ändras inte dess volym. Tänk dig att vi bygger den av tunna skivor, som en skorsten av allt mindre kvadrater. När vi skjuter skivorna åt sidan bildas en sned pyramid, men skivorna är fortfarande desamma och tar upp lika stort utrymme. Det här tricket kallas Cavalieris princip. Det fungerar även för pyramider med olika formade baser: om två pyramider har lika stor bas och samma höjd har skivorna i varje höjd samma area, vare sig basen är en kvadrat eller en triangel, och därför har de också samma volym. Därför gäller formeln

$V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$

för absolut alla pyramider, raka och sneda, med kvadratisk, rektangulär och triangelformad bas. Men se upp med en sned pyramid: höjden är även där det lodräta avståndet från spetsen till basen, inte längden av den sneda kanten.

Samma tredjedel möter du i konens volym: en kon är en tredjedel av en cylinder med samma bas och höjd. En kon kan nämligen ses som en pyramid som har en cirkel som bas i stället för en kvadrat.

Exempel: Cheopspyramiden

Den största egyptiska pyramiden, Cheopspyramiden i Giza, hade ursprungligen en kvadratisk bas med sidan ungefär 230 meter och var ungefär 146 meter hög. Idag är den ungefär åtta meter lägre, eftersom toppen och ytterbeklädnaden saknas. Hur mycket sten ryms i den?

Först basen, som är en kvadrat med sidan 230 meter:

$B = 230^{2} = 52 900$

Basen upptar 52 900 kvadratmeter, ungefär sju fotbollsplaner. Därifrån beräknar vi volymen:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52 900 \cdot 146$

Vi multiplicerar:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7 723 400$

Det återstår att dividera med tre:

$V \approx 2 574 467$

Cheopspyramidens volym är ungefär 2,6 miljoner kubikmeter. Om vi plockade isär den och fyllde olympiska simbassänger med stenen, var och en 50 meter lång, 25 meter bred och 2 meter djup, alltså med volymen 2500 kubikmeter, skulle vi fylla över tusen av dem.

Den glömda tredjedelen blir dyr här. Den som utelämnar den får över 7,7 miljoner kubikmeter och bygger i tanken två pyramider för mycket.

När vi inte känner höjden

Ofta har vi inte höjden till hands, men vi känner längden av sidokanten s — kanten som går från ett hörn av basen till spetsen. Så är det till exempel vid en verklig byggnad: till kanten kommer du lättare med ett måttband än till den lodräta höjden inuti.

Höjden h, sidokanten s och halva basens diagonal (röd) bildar en rätvinklig triangel, som är grönfärgad i figuren:

Höjden h, halva diagonalen och sidokanten s bildar en rätvinklig triangel

Höjden träffar kvadratens medelpunkt, och avståndet från medelpunkten till ett hörn är precis hälften av kvadratens diagonal. Diagonalen i en kvadrat med sidan a är $u = a \cdot \sqrt{2}$ lång. Sidokanten s är hypotenusan i triangeln, så enligt Pythagoras sats gäller

$s^{2} = h^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

Härifrån löser vi ut höjden:

$h = \sqrt{s^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Exempel: Framför Louvren i Paris står en glaspyramid med kvadratisk bas med sidan 35,4 meter och sidokanter som är ungefär 33,1 meter långa. Hur mycket luft finns inuti?

Vi börjar med basens diagonal:

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Halva diagonalen är alltså ungefär 25,03 meter. I formeln för höjden ser det ut så här:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Vi kvadrerar:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Och drar roten ur:

$h \approx 21, 66$

Pyramiden är ungefär 21,66 meter hög. Det stämmer, den officiellt angivna höjden är 21,64 meter. Med höjden i handen beräknar vi volymen:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Inuti pyramiden finns ungefär 9000 kubikmeter luft. Av sådana pyramider skulle nästan tre hundra rymmas i Cheopspyramiden.

Pyramid med en annan bas

Pyramidens bas behöver inte vara en kvadrat. Formeln $V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$ fungerar för vilken bas som helst, bara basens area B beräknas på olika sätt varje gång.

Försök att med en såg skära av ett hörn från ett träblock med ett snett snitt som går genom tre av hörnen som ligger intill det. Biten du sågar av är en pyramid med triangelformad bas: dess bas är en rätvinklig triangel, och höjden är blockets lodräta kant, som står vinkelrätt mot basen.

Pyramid med triangelformad bas med kateterna a, b och höjden h

Säg att basens kateter är a = 8 cm och b = 6 cm och att höjden är h = 9 cm. Först tar vi reda på triangelns area i basen. För en rätvinklig triangel räcker det att multiplicera kateterna och dividera med två:

$B = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Nu har vi basens area, så volymen blir

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Vi har sågat av 72 kubikcentimeter trä från blocket.

För säkerhets skull kontrollerar vi resultatet. Den här pyramiden kan också läggas på en annan sida: den vänstra sidan är också en rätvinklig triangel, den här gången med kateterna b = 6 cm och h = 9 cm, och vinkelrätt mot den står kanten a som är 8 cm lång och nu är höjden. Basens area är $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ och volymen

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Det stämmer. Pyramiden är fortfarande densamma, den ligger bara annorlunda, och därför måste volymen bli densamma.

Miniräknare

Volymen av en regelbunden fyrsidig pyramid kan du också beräkna här. Ange bara basens sida och höjden. Du kan byta enhet vid varje fält.

Se även

Kapitel: Klotets volym, Cylinderns volym, Konens volym, Kubens volym, Rätblockets volym, Prismats volym, Pyramidens volym

« Föregående: Prismats volym

Nästa: Kägelsnitt »