Όγκος πυραμίδας

Η πυραμίδα είναι ένα στερεό που ξέρεις από τις πυραμίδες της Αιγύπτου. Κάτω έχει μια βάση, συνηθέστερα τετράγωνο, και από τις πλευρές της ανεβαίνουν τριγωνικές έδρες, που πάνω συναντιούνται σε ένα σημείο, στην κορυφή. Ο όγκος της πυραμίδας φανερώνει πόση άμμος θα χωρούσε σε μια τέτοια πυραμίδα, αν ήταν κούφια.

Πυραμίδα με βάση εμβαδού E_β και ύψος υ

Με κόκκινο είναι χρωματισμένη η βάση και το εμβαδόν της θα το συμβολίζουμε E_β. Με μπλε είναι σημειωμένο το ύψος της πυραμίδας υ — η απόσταση της κορυφής από τη βάση. Το ύψος είναι κάθετο στη βάση, άρα δεν το μετράμε κατά μήκος της πλάγιας έδρας, αλλά κατακόρυφα προς τα κάτω από την κορυφή.

Τύπος για τον όγκο της πυραμίδας

Αν ψάχνεις μόνο τον τύπο, τότε τον όγκο V μιας πυραμίδας, της οποίας η βάση έχει εμβαδόν E_β και που έχει ύψος υ, τον υπολογίζεις ως

$V = \frac{1}{3} \cdot E_{β} \cdot υ$

Η πιο συνηθισμένη είναι η κανονική τετραγωνική πυραμίδα, δηλαδή η πυραμίδα με τετράγωνη βάση πλευράς a. Το εμβαδόν της βάσης είναι τότε το εμβαδόν τετραγώνου E_β = a² και ο τύπος γίνεται

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot υ$

Για παράδειγμα, μια πυραμίδα με πλευρά βάσης a = 6 και ύψος υ = 5 έχει όγκο

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Γιατί υπάρχει εκεί το ένα τρίτο;

Χωρίς αυτό το ένα τρίτο ο τύπος E_β · υ θα έδινε τον όγκο πρίσματος με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Η πυραμίδα είναι λοιπόν το ένα τρίτο του πρίσματος. Γιατί ακριβώς το ένα τρίτο, φαίνεται πολύ όμορφα σε έναν κύβο.

Πάρε έναν κύβο με ακμή a και μία κορυφή του, στο σχήμα πορτοκαλί. Από αυτήν τώρα απλώνουμε πυραμίδες προς τις τρεις έδρες του κύβου που δεν ακουμπούν την πορτοκαλί κορυφή: προς την κάτω, την πίσω και τη δεξιά. Προκύπτουν τρεις πυραμίδες, μια κόκκινη, μια μπλε και μια πράσινη. Μαζί γεμίζουν ολόκληρο τον κύβο, χωρίς να μένει κενό και χωρίς να επικαλύπτονται:

Κύβος χωρισμένος σε τρεις ίσες πυραμίδες με κοινή κορυφή

Και οι τρεις πυραμίδες είναι ίδιες, απλώς η καθεμία είναι τοποθετημένη αλλιώς. Η καθεμία έχει για βάση μία έδρα του κύβου, δηλαδή τετράγωνο με εμβαδόν a², και έχει ύψος a, επειδή η κορυφή της απέχει από την απέναντι έδρα ακριβώς όσο η ακμή του κύβου. Ο όγκος του κύβου είναι a³ και μοιράζεται εξίσου στις τρεις πυραμίδες, άρα η καθεμία έχει όγκο

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot E_{β} \cdot υ$

Και αυτός είναι ακριβώς ο τύπος μας.

Ο κύβος είναι βέβαια μόνο μία συγκεκριμένη περίπτωση, αλλά το ένα τρίτο ισχύει και αλλού. Αν τεντώσουμε τον κύβο σε ύψος ή σε πλάτος, γίνεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και τεντώνονται το ίδιο και οι τρεις πυραμίδες — καθεμία τους είναι πάντα το ένα τρίτο του παραλληλεπιπέδου. Και όταν γείρουμε την πυραμίδα, ο όγκος της δεν αλλάζει. Φαντάσου ότι τη συνθέτουμε από λεπτές πλάκες, σαν μια καμινάδα από όλο και μικρότερα τετραγωνάκια. Αν σπρώξουμε τις πλάκες προς το πλάι, προκύπτει πλάγια πυραμίδα, αλλά οι πλάκες είναι οι ίδιες και καταλαμβάνουν τον ίδιο χώρο. Αυτό το τέχνασμα λέγεται αρχή του Cavalieri. Λειτουργεί και για πυραμίδες με βάσεις διαφορετικού σχήματος: αν δύο πυραμίδες έχουν βάσεις με το ίδιο εμβαδόν και το ίδιο ύψος, οι πλάκες τους σε κάθε ύψος έχουν το ίδιο εμβαδόν, είτε η βάση είναι τετράγωνο είτε τρίγωνο, και έτσι έχουν και τον ίδιο όγκο. Γι' αυτό ο τύπος

$V = \frac{1}{3} \cdot E_{β} \cdot υ$

ισχύει για κάθε πυραμίδα, ορθή ή πλάγια, με τετράγωνη, ορθογώνια ή τριγωνική βάση. Πρόσεχε μόνο στην πλάγια πυραμίδα: το ύψος της είναι πάντα η κατακόρυφη απόσταση της κορυφής από τη βάση, όχι το μήκος της πλάγιας ακμής.

Το ίδιο ένα τρίτο θα συναντήσεις και στον όγκο κώνου: ο κώνος είναι το ένα τρίτο του κυλίνδρου με την ίδια βάση και το ίδιο ύψος. Ο κώνος μπορεί άλλωστε να θεωρηθεί πυραμίδα που έχει για βάση κυκλικό δίσκο αντί για τετράγωνο.

Παράδειγμα: η πυραμίδα του Χέοπα

Η μεγαλύτερη πυραμίδα της Αιγύπτου, του Χέοπα στη Γκίζα, είχε αρχικά τετράγωνη βάση με πλευρά περίπου 230 μέτρα και ύψος περίπου 146 μέτρα. Σήμερα είναι περίπου οκτώ μέτρα χαμηλότερη, γιατί της λείπουν η κορυφή και η εξωτερική επένδυση. Πόση πέτρα χωρούσε μέσα της;

Πρώτα η βάση, που είναι τετράγωνο με πλευρά 230 μέτρα:

$E_{β} = 230^{2} = 52.900$

Η βάση καταλαμβάνει 52.900 τετραγωνικά μέτρα, δηλαδή περίπου επτά γήπεδα ποδοσφαίρου. Από εκεί υπολογίζουμε πια τον όγκο:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52.900 \cdot 146$

Πολλαπλασιάζουμε:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7.723 .400$

Μένει να διαιρέσουμε με το τρία:

$V \approx 2.574 .467$

Η πυραμίδα του Χέοπα έχει όγκο περίπου 2,6 εκατομμύρια κυβικά μέτρα. Αν τη διαλύαμε και γεμίζαμε με τις πέτρες ολυμπιακές πισίνες, καθεμία μήκους 50 μέτρων, πλάτους 25 και βάθους 2, δηλαδή όγκου 2.500 κυβικών μέτρων, θα γεμίζαμε πάνω από χίλιες.

Το ξεχασμένο ένα τρίτο εδώ κοστίζει ακριβά. Όποιος το παραλείψει, θα βρει πάνω από 7,7 εκατομμύρια κυβικά μέτρα και θα χτίσει νοερά δύο πυραμίδες παραπάνω.

Όταν δεν ξέρουμε το ύψος

Συχνά όμως δεν έχουμε το ύψος της πυραμίδας στη διάθεσή μας, ξέρουμε όμως το μήκος της παράπλευρης ακμής λ — είναι η ακμή που πηγαίνει από μια κορυφή της βάσης ως την κορυφή της πυραμίδας. Έτσι συμβαίνει για παράδειγμα σε ένα πραγματικό κτίσμα: στην ακμή φτάνεις με το μέτρο πιο εύκολα παρά στο κατακόρυφο ύψος στο εσωτερικό.

Το ύψος υ, η παράπλευρη ακμή λ και το μισό της διαγωνίου της βάσης (με κόκκινο) σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο, που στο σχήμα είναι χρωματισμένο πράσινο:

$Το ύψος υ, το μισό της διαγωνίου και η παράπλευρη ακμή \lambda σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο$

Το ύψος πέφτει από την κορυφή στο κέντρο του τετραγώνου και η απόσταση από το κέντρο ως την κορυφή της βάσης είναι ακριβώς το μισό της διαγωνίου του τετραγώνου. Η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά a έχει μήκος $u = a \cdot \sqrt{2}$ . Η παράπλευρη ακμή λ είναι η υποτείνουσα του τριγώνου, άρα σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει

$λ^{2} = υ^{2} + {(\frac{u}{2})}^{2} .$

Από εκεί λύνουμε ως προς το ύψος:

$υ = \sqrt{λ^{2} - {(\frac{u}{2})}^{2}}$

Παράδειγμα: Μπροστά στο Λούβρο στο Παρίσι στέκεται μια γυάλινη πυραμίδα με τετράγωνη βάση πλευράς 35,4 μέτρων και με παράπλευρες ακμές μήκους περίπου 33,1 μέτρων. Πόσος αέρας χωράει μέσα;

Ξεκινάμε από τη διαγώνιο της βάσης:

$u = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Το μισό της διαγωνίου είναι λοιπόν περίπου 25,03 μέτρα. Στον τύπο για το ύψος αυτό γράφεται ως εξής:

$υ = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Υψώνουμε στο τετράγωνο:

$υ = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

Και παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα:

$υ \approx 21, 66$

Η πυραμίδα έχει ύψος περίπου 21,66 μέτρα. Ταιριάζει, το επίσημο ύψος που αναφέρεται είναι 21,64 μέτρα. Με το ύψος στο χέρι υπολογίζουμε τον όγκο:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Μέσα στην πυραμίδα υπάρχουν περίπου 9.000 κυβικά μέτρα αέρα. Στην πυραμίδα του Χέοπα θα χωρούσαν σχεδόν τριακόσιες τέτοιες πυραμίδες.

Πυραμίδα με άλλη βάση

Η βάση της πυραμίδας δεν χρειάζεται να είναι τετράγωνο. Ο τύπος $V = \frac{1}{3} \cdot E_{β} \cdot υ$ ισχύει για οποιαδήποτε βάση, μόνο που κάθε φορά το εμβαδόν της E_β υπολογίζεται αλλιώς.

Δοκίμασε να κόψεις με ένα πριόνι μια γωνία από ένα ξύλινο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, με λοξή τομή που περνά από τις τρεις κορυφές που γειτονεύουν με αυτήν. Το κομμάτι που κόβεται είναι τριγωνική πυραμίδα: η βάση της είναι ορθογώνιο τρίγωνο και ύψος της είναι η κατακόρυφη ακμή του παραλληλεπιπέδου, που στέκεται κάθετα στη βάση.

Τριγωνική πυραμίδα με ορθογώνια τριγωνική βάση με κάθετες πλευρές a, b και ύψος υ

Ας πούμε ότι οι κάθετες πλευρές της βάσης μετράνε a = 8 cm και b = 6 cm και το ύψος είναι υ = 9 cm. Πρώτα βρίσκουμε το εμβαδόν του τριγώνου της βάσης. Στο ορθογώνιο τρίγωνο αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις κάθετες πλευρές και να διαιρέσουμε με το δύο:

$E_{β} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Έχουμε το εμβαδόν της βάσης, άρα ο όγκος βγαίνει:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Από το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κόψαμε 72 κυβικά εκατοστά ξύλου.

Για σιγουριά ελέγχουμε το αποτέλεσμα. Αυτή η πυραμίδα μπορεί να ακουμπήσει και σε άλλη έδρα: η αριστερή έδρα είναι επίσης ορθογώνιο τρίγωνο, αυτή τη φορά με κάθετες πλευρές b = 6 cm και υ = 9 cm, και κάθετα πάνω της στέκεται η ακμή a μήκους 8 cm, που τώρα είναι το ύψος. Το εμβαδόν της βάσης είναι $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ και ο όγκος

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Ταιριάζει. Η πυραμίδα είναι πάντα η ίδια, απλώς ακουμπά αλλιώς, και έτσι πρέπει να βγαίνει ο ίδιος όγκος.

Αριθμομηχανή

Τον όγκο μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας μπορείς να τον υπολογίσεις και εδώ. Αρκεί να δώσεις την πλευρά της βάσης και το ύψος, και τις μονάδες μπορείς να τις αλλάξεις σε κάθε πεδίο.

Δες επίσης

Κεφάλαια: Όγκος σφαίρας, Όγκος κυλίνδρου, Όγκος κώνου, Όγκος κύβου, Όγκος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, Όγκος πρίσματος, Όγκος πυραμίδας

« Προηγούμενο: Όγκος πρίσματος

Επόμενο: Κωνικές τομές »