Об'єм піраміди

Піраміда — це тіло, яке ти знаєш з єгипетських пірамід. Унизу вона має основу, найчастіше квадрат, а від її сторін угору здіймаються трикутні грані, які нагорі сходяться в одній точці — вершині. Об'єм піраміди показує, скільки піску помістилося б у такій піраміді, якби вона була порожня всередині.

$Піраміда з основою S_{осн} і висотою h$

Червоним виділено основу, її площу позначатимемо S_осн. Синім позначено висоту піраміди h — відстань від вершини до основи. Висота стоїть на основі перпендикулярно, тому вимірюємо її не вздовж похилої грані, а вертикально вниз від вершини.

Формула об'єму піраміди

Якщо тобі потрібна лише формула, то об'єм піраміди V, основа якої має площу S_осн, а висота дорівнює h, обчислюється так:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{о с н} \cdot h$

Найпоширеніша — правильна чотирикутна піраміда, тобто піраміда з квадратною основою зі стороною a. Площа основи тоді дорівнює площі квадрата S_осн = a², і формула має такий вигляд:

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h$

Наприклад, піраміда зі стороною основи a = 6 і висотою h = 5 має об'єм

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^{2} \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = \frac{1}{3} \cdot 180 = 60$

Чому там одна третина?

Без цієї третини формула S_осн · h давала б об'єм призми з такою самою основою та такою самою висотою. Отже, піраміда — це третина призми. Чому саме третина, гарно видно на прикладі куба.

Уявімо куб з ребром a і один його кут, на рисунку він помаранчевий. З нього проведемо піраміди до трьох граней куба, яких помаранчевий кут не торкається: до нижньої, задньої та правої. Утворяться три піраміди — червона, синя й зелена. Разом вони заповнюють увесь куб, вільного місця не залишається, і піраміди ніде не перекриваються:

Куб, розкладений на три рівні піраміди зі спільною вершиною

Усі три піраміди однакові, лише кожна розташована по-іншому. Кожна має за основу одну грань куба, тобто квадрат з площею a², і кожна має висоту a, бо її вершина віддалена від протилежної грані рівно на ребро куба. Об'єм куба дорівнює a³ і ділиться порівну між трьома пірамідами, тож кожна має об'єм

$V = \frac{1}{3} \cdot a^{3} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a = \frac{1}{3} \cdot S_{о с н} \cdot h$

А це і є наша формула.

Куб, звісно, лише один окремий випадок, але третина зберігається й в інших. Якщо куб розтягнути у висоту або в ширину, він стане прямокутним паралелепіпедом, і всі три піраміди розтягнуться так само — кожна з них і далі становить третину паралелепіпеда. А якщо піраміду нахилити, її об'єм не зміниться. Уяви, що вона складена з тонких пластинок, як димар зі дедалі менших квадратиків. Якщо пластинки зсунути вбік, вийде похила піраміда, але пластинки залишаються тими самими й займають стільки ж місця. Цей прийом називають принципом Кавальєрі. Він працює і для пірамід з основою іншої форми: якщо дві піраміди мають основи однакової площі та однакову висоту, то пластинки на кожній висоті мають однакову площу, незалежно від того, чи основа — квадрат, чи трикутник, а отже, піраміди мають і однаковий об'єм. Тому формула

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{о с н} \cdot h$

справджується для будь-якої піраміди, прямої чи похилої, з квадратною, прямокутною чи трикутною основою. Лише зверни увагу на похилу піраміду: її висота — це все одно вертикальна відстань від вершини до основи, а не довжина похилого ребра.

Ту саму третину зустрінеш і в об'ємі конуса: конус — це третина циліндра з такою самою основою та висотою. Адже конус можна уявити як піраміду, в основі якої замість квадрата круг.

Приклад: піраміда Хеопса

Найбільша єгипетська піраміда, піраміда Хеопса в Гізі, спочатку мала квадратну основу зі стороною приблизно 230 метрів і заввишки була приблизно 146 метрів. Сьогодні вона приблизно на вісім метрів нижча, бо їй бракує вершини та зовнішнього облицювання. Скільки каменю в неї вміщалося?

Спершу основа, це квадрат зі стороною 230 метрів:

$S_{о с н} = 230^{2} = 52 900$

Основа займає 52 900 квадратних метрів, це приблизно сім футбольних полів. Звідси вже обчислимо об'єм:

$V = \frac{1}{3} \cdot 52 900 \cdot 146$

Помножимо:

$V = \frac{1}{3} \cdot 7 723 400$

Залишилося поділити на три:

$V \approx 2 574 467$

Піраміда Хеопса має об'єм приблизно 2,6 мільйона кубічних метрів. Якби ми розібрали її й заповнювали камінням олімпійські басейни завдовжки 50 метрів, завширшки 25 і завглибшки 2, тобто з об'ємом 2 500 кубічних метрів, ми наповнили б їх понад тисячу.

Забута третина тут дорого обходиться. Хто її пропустить, отримає понад 7,7 мільйона кубічних метрів і подумки збудує на дві піраміди більше.

Коли ми не знаємо висоти

Часто висоти піраміди під рукою немає, зате відома довжина бічного ребра l — це ребро, що йде від кута основи до вершини. Так буває, наприклад, у справжній споруді: до ребра з рулеткою дістатися легше, ніж до вертикальної висоти всередині.

Висота h, бічне ребро l і половина діагоналі основи (червона) утворюють прямокутний трикутник, на рисунку він зафарбований зеленим:

Висота h, половина діагоналі та бічне ребро l утворюють прямокутний трикутник

Висота опускається з вершини в центр квадрата, а відстань від центра до кута — це рівно половина діагоналі квадрата. Діагональ квадрата зі стороною a має довжину $d = a \cdot \sqrt{2}$ . Бічне ребро l — гіпотенуза трикутника, тому за теоремою Піфагора маємо

$l^{2} = h^{2} + {(\frac{d}{2})}^{2} .$

Звідси виразимо висоту:

$h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}}$

Приклад: Перед паризьким Лувром стоїть скляна піраміда з квадратною основою зі стороною 35,4 метра та з бічними ребрами завдовжки приблизно 33,1 метра. Скільки повітря всередині?

Почнемо з діагоналі основи:

$d = a \cdot \sqrt{2} = 35, 4 \cdot \sqrt{2} \approx 50, 06$

Половина діагоналі, отже, становить приблизно 25,03 метра. У формулі для висоти це виглядає так:

$h = \sqrt{33, 1^{2} - 25, 03^{2}}$

Піднесемо до квадрата:

$h = \sqrt{1095, 61 - 626, 50} = \sqrt{469, 11}$

І добудемо корінь:

$h \approx 21, 66$

Піраміда має висоту приблизно 21,66 метра. Це сходиться: офіційно вказана висота — 21,64 метра. Маючи висоту, обчислимо об'єм:

$V = \frac{1}{3} \cdot 35, 4^{2} \cdot 21, 66 = \frac{1}{3} \cdot 1253, 16 \cdot 21, 66 \approx 9048$

Всередині піраміди приблизно 9 000 кубічних метрів повітря. Таких пірамід у піраміду Хеопса вмістилося б майже триста.

Піраміда з іншою основою

Основа піраміди не обов'язково квадрат. Формула $V = \frac{1}{3} \cdot S_{о с н} \cdot h$ працює для будь-якої основи, лише щоразу її площа S_осн обчислюється по-іншому.

Спробуй уявити, що ти відпилюєш від дерев'яного бруса кут похилим розрізом, який проходить через три сусідні з ним вершини. Відпиляний шматок — трикутна піраміда: її основа — прямокутний трикутник, а висота — вертикальне ребро бруса, що стоїть на основі перпендикулярно.

Трикутна піраміда з прямокутною основою з катетами a, b і висотою h

Нехай катети основи дорівнюють a = 8 см і b = 6 см, а висота h = 9 см. Спершу знайдемо площу трикутника в основі. У прямокутного трикутника досить помножити катети та поділити на два:

$S_{о с н} = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24$

Площу основи маємо, тож об'єм виходить такий:

$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

З бруса ми відпиляли 72 кубічні сантиметри деревини.

Для певності перевіримо результат. Цю піраміду можна покласти й на іншу грань: ліва грань теж прямокутний трикутник, цього разу з катетами b = 6 см і h = 9 см, а перпендикулярно до неї стоїть ребро a завдовжки 8 см, яке тепер є висотою. Площа основи дорівнює $\frac{6 \cdot 9}{2} = 27$ , а об'єм

$V = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 216 = 72$

Збігається. Піраміда та сама, лише лежить по-іншому, тож об'єм має вийти однаковий.

Калькулятор

Об'єм правильної чотирикутної піраміди можна обчислити й тут. Достатньо ввести сторону основи та висоту, одиниці в кожному полі можна перемикати.

Див. також

Розділи: Об'єм кулі, Об'єм циліндра, Об'єм конуса, Об'єм куба, Об'єм паралелепіпеда, Об'єм призми, Об'єм піраміди

« Попередня: Об'єм призми

Наступна: Конічні перерізи »