Üçgenlerde Benzerlik

Benzer üçgenlerin şekli aynıdır, ama büyüklükleri farklı olabilir. Biri ötekinin büyütülmüş ya da küçültülmüş kopyasıdır, tıpkı fotokopi makinesinde bir resmi büyütmek gibi. Kopyayı istediğimiz gibi döndürebilir ya da ters çevirebiliriz; benzerlik bundan etkilenmez.

Benzer üçgenlerde karşılık gelen açılar eşit ölçülüdür, karşılık gelen kenar uzunlukları ise orantılıdır. Şekilde a' kenarı a kenarının, b' kenarı b kenarının, c' kenarı da c kenarının iki katı uzunluğundadır. Bu sayıya benzerlik oranı deriz ve k ile gösteririz. Her kenar k kat uzundur:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Şekilde benzerlik oranı k = 2. k birden küçük olsaydı, örneğin $k=\frac{1}{2}$, ikinci üçgen tersine küçültülmüş olurdu. Benzerliği şöyle yazarız:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Eşlikte olduğu gibi burada da köşelerin yazılış sırası hangisinin hangisine karşılık geldiğini söyler: A köşesi A' köşesine, B köşesi B' köşesine, C köşesi de C' köşesine karşılık gelir. Eş üçgenler aslında benzer üçgenlerin özel bir durumudur, benzerlik oranı k = 1 olan durum: kopya ne daha büyüktür ne daha küçük.

Benzerlik Teoremleri

İki üçgenin benzer olup olmadığını bütün açıları ve bütün kenarları kontrol etmeden de anlayabiliriz. Benzerlik teoremleri eşlik teoremlerine benzer, yalnız kenarların eşit uzunlukta olmasını aramak yerine kenar oranlarının eşit olmasını ararız.

AA teoremi: İki üçgenin iki açı çifti eşit ölçülüyse bu üçgenler benzerdir. Üçüncü açıyı ölçmemize gerek yok. Üçgenin açıları toplamı her zaman 180° olduğundan üçüncü açılar da kendiliğinden eşit çıkar.

KKK teoremi: İki üçgenin karşılık gelen kenarlarının üç oranı da eşitse bu üçgenler benzerdir:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

KAK teoremi: Karşılık gelen iki kenar çiftinin oranı eşitse ve bu kenarların arasındaki açılar eşit ölçülüyse üçgenler benzerdir.

Örnek: Ağaç Ne Kadar Yüksek

Bahçemizde yüksek bir ağaç var ve boyunun tam olarak kaç metre olduğunu merak ediyoruz. Metreyle ağacın tepesine tırmanmak da pek içimizden gelmiyor. Bunun yerine yere 2 metre uzunluğunda dikey bir sırık dikeriz. Sırığın gölgesi 1,5 metre, ağacın gölgesi ise aynı anda 12 metre uzunluğundadır.

Ağaç, gölgesi ve güneş ışını bir üçgen oluşturur. İkinci üçgen sırıktan, onun gölgesinden ve güneş ışınından oluşur. Sırık da ağaç da yere diktir, bu yüzden iki üçgenin de taban köşesindeki açısı diktir. Güneş ışınları aynı anda aynı açıyla geldiğinden gölgelerin ucundaki açı da iki üçgende aynıdır. İki açı çifti eşit olduğundan AA teoremine göre üçgenler benzerdir.

Benzerlik oranını gölgelerden buluruz: ağacın gölgesi sırığın gölgesinden k kat uzundur:

$$k=12:1,5$$

Bölelim:

$$k=8$$

Demek ki ağaç sırıktan sekiz kat yüksektir. Ağacın yüksekliği

$$h=8\cdot 2$$

Çarpalım:

$$h=16\text{m}$$

Ağaç 16 metre yüksekliğindedir. Sonucu yüksekliğin gölgeye oranıyla kontrol edelim; bu oran iki üçgende de aynı olmalıdır. Sırıkta $2:1,5=\frac{4}{3}$, ağaçta $16:12=\frac{4}{3}$. Tutuyor.

Alana Dikkat

Kenarlar k kat uzunsa alanın da k kat büyük olacağını düşünmek cazip gelir. Yanlış. Alan k² kat büyür.

Bütün kenarları iki kat uzun bir üçgen düşünelim. Kenarlarının orta noktalarını birleştirirsek dört üçgene ayrılır ve bunların her biri ilk üçgenin tıpkısıdır:

Benzerlik oranı k = 2 iken alan iki değil, dört kat büyüktür. Genel olarak A'B'C' üçgeninin alanı

$$A(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })=k^2\cdot A(ABC),$$

olur; burada A(ABC) ilk üçgenin alanıdır. k = 3 iken alan dokuz kat büyür. Fotoğrafta da böyledir: bir fotoğrafın genişliğini de yüksekliğini de iki katına çıkarırsan dört kat fazla kâğıt harcanır.

Ayrıca Bak

• Üçgenlerde Eşlik
• Oranlar
• Orantı Kurarak Çözme