Triangles semblables

Des triangles semblables ont la même forme, mais ils peuvent avoir une taille différente. L’un est un agrandissement ou une réduction de l’autre, comme quand tu agrandis une image à la photocopieuse. On peut très bien tourner ou retourner la copie, cela ne change rien à la similitude.

Dans des triangles semblables, les angles correspondants ont la même mesure et les côtés correspondants sont dans le même rapport. Sur la figure, le côté a' est deux fois plus long que le côté a, le côté b' deux fois plus long que b et c' deux fois plus long que c. Ce nombre s’appelle le rapport de similitude et on le note k. Chaque côté est k fois plus long :

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Sur la figure, k = 2. Si k était plus petit que un, par exemple $k=\frac{1}{2}$, le deuxième triangle serait au contraire une réduction. On écrit la similitude ainsi :

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Comme pour l’égalité, l’ordre des sommets indique ce qui correspond à quoi : le sommet A correspond au sommet A', B à B' et C à C'. Des triangles égaux sont en fait un cas particulier de triangles semblables, avec un rapport k = 1 : la copie n’est ni plus grande ni plus petite.

Cas de similitude

On peut savoir si deux triangles sont semblables sans vérifier tous les angles et tous les côtés. Les cas de similitude ressemblent aux cas d’égalité, sauf qu’au lieu de côtés de même longueur, on cherche des rapports de côtés identiques.

Cas AA : si deux triangles ont deux paires d’angles de même mesure, ils sont semblables. On peut s’épargner la mesure du troisième angle. Les angles d’un triangle ont toujours une somme de 180°, donc les troisièmes angles sont forcément égaux aussi.

Cas CCC : si, dans deux triangles, les trois rapports des côtés correspondants sont égaux, les triangles sont semblables :

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Cas CAC : il suffit que deux côtés correspondants aient le même rapport et que l’angle compris entre ces côtés ait la même mesure.

Exemple : quelle est la hauteur de l’arbre

Dans le jardin pousse un grand arbre et nous voulons savoir combien il mesure exactement. Nous n’avons pas envie de grimper dans la cime avec un mètre. Alors nous plantons dans le sol un piquet vertical de 2 mètres de haut. Le piquet projette une ombre de 1,5 mètre et, au même moment, l’arbre projette une ombre de 12 mètres.

L’arbre, son ombre et un rayon de soleil forment un triangle. Un deuxième triangle est formé par le piquet, son ombre et un rayon. Le piquet et l’arbre sont perpendiculaires au sol, donc les deux triangles ont un angle droit au pied. Les rayons du soleil arrivent au même moment sous le même angle, donc l’angle au bout de l’ombre est lui aussi le même dans les deux triangles. Nous avons deux paires d’angles égaux, donc, d’après le cas AA, les triangles sont semblables.

On lit le rapport de similitude sur les ombres : l’ombre de l’arbre est k fois plus longue que celle du piquet :

$$k=12:1,5$$

On divise :

$$k=8$$

L’arbre est donc huit fois plus haut que le piquet. La hauteur de l’arbre est

$$h=8\cdot 2$$

On multiplie :

$$h=16\text{m}$$

L’arbre mesure 16 mètres. Vérifions avec le rapport de la hauteur à l’ombre, qui doit être le même pour les deux triangles. Pour le piquet, $2:1,5=\frac{4}{3}$, et pour l’arbre, $16:12=\frac{4}{3}$. Cela concorde.

Attention à l’aire

On est tenté de conclure que, si les côtés sont k fois plus longs, l’aire est aussi k fois plus grande. C’est faux. L’aire est multipliée par k².

Imaginons un triangle dont tous les côtés sont deux fois plus longs. Si on relie les milieux de ses côtés, il se découpe en quatre triangles, dont chacun est une copie exacte du triangle de départ :

Avec un rapport de similitude k = 2, l’aire est donc quatre fois plus grande, et non deux fois. En général, l’aire du triangle A'B'C' est

$${\mathcal{A}}^{\prime }=k^2\cdot \mathcal{A},$$

où $\mathcal{A}$ est l’aire du triangle de départ. Avec k = 3, l’aire est neuf fois plus grande. C’est comme pour une photo : si tu l’agrandis pour doubler sa largeur et sa hauteur, elle consomme quatre fois plus de papier.

Voir aussi

• Triangles égaux
• Rapports
• Règle de trois