Háromszögek hasonlósága

A hasonló háromszögeknek ugyanolyan az alakjuk, de a méretük különböző lehet. Az egyik a másik nagyított vagy kicsinyített másolata, mint amikor a fénymásolón felnagyítasz egy képet. A másolatot nyugodtan elfordíthatjuk vagy átfordíthatjuk, a hasonlóságon ez nem változtat.

Hasonló háromszögekben a megfelelő szögek egyenlő nagyságúak, a megfelelő oldalak pedig ugyanabban az arányban állnak. Az ábrán az a' oldal kétszer hosszabb, mint az a, a b' oldal kétszer hosszabb, mint a b, és a c' is kétszer hosszabb, mint a c. Ezt a számot a hasonlóság arányának nevezzük, és k-val jelöljük. Minden oldal k-szor hosszabb:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Az ábrán k = 2. Ha k kisebb lenne egynél, például $k=\frac{1}{2}$, akkor a másik háromszög nagyítás helyett kicsinyített lenne. A hasonlóságot így írjuk le:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Az egybevágósághoz hasonlóan a csúcsok sorrendje itt is elárulja, melyik mi megfelelője: az A csúcs az A'-nek felel meg, a B a B'-nek, a C pedig a C'-nek. Az egybevágó háromszögek tulajdonképpen a hasonlók különleges esetei, k = 1 aránnyal: a másolat sem nagyobb, sem kisebb.

Hasonlósági alapesetek

Hogy két háromszög hasonló-e, megállapíthatjuk anélkül is, hogy az összes szöget és az összes oldalt ellenőriznénk. A hasonlósági alapesetek az egybevágósági alapesetekre emlékeztetnek, csak az egyenlő hosszú oldalak helyett az oldalak egyenlő arányát keressük.

Két szög: Ha két háromszögnek két-két szöge páronként egyenlő, akkor a háromszögek hasonlóak. A harmadik szög megmérését megspórolhatjuk. A háromszög szögeinek összege mindig 180°, így a harmadik szögek is szükségszerűen egyenlők lesznek.

Három oldal aránya: Ha két háromszögben mindhárom megfelelő oldalpár aránya megegyezik, akkor a háromszögek hasonlóak:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Két oldal aránya és a közbezárt szög: Elég, ha két megfelelő oldal aránya egyenlő, és az általuk közbezárt szög is egyenlő nagy.

Példa: milyen magas a fa

A kertben nő egy magas fa, és kíváncsiak vagyunk, pontosan hány méter. Nincs kedvünk mérőszalaggal felmászni a koronájáig. Ezért leszúrunk a földbe egy 2 méter magas függőleges rudat. A rúd árnyéka 1,5 méter hosszú, a fa árnyéka ugyanabban a pillanatban 12 méter.

A fa, az árnyéka és egy napsugár háromszöget alkot. A második háromszög a rúdból, az árnyékából és a napsugárból keletkezik. A rúd és a fa is merőlegesen áll a talajra, ezért mindkét háromszögnek derékszöge van a talpánál. A napsugarak ugyanabban a pillanatban ugyanolyan szögben érkeznek, ezért az árnyék végénél lévő szög is egyenlő a két háromszögben. Két-két szög páronként egyenlő, tehát a háromszögek a két szögre vonatkozó alapeset szerint hasonlóak.

A hasonlóság arányát az árnyékokból olvassuk le: a fa árnyéka k-szor hosszabb, mint a rúd árnyéka:

$$k=12:1,5$$

Elosztjuk:

$$k=8$$

A fa tehát nyolcszor olyan magas, mint a rúd. A fa magassága

$$m=8\cdot 2$$

Összeszorozzuk:

$$m=16\text{m}$$

A fa 16 méter magas. Az eredményt ellenőrizhetjük a magasság és az árnyék arányával, amelynek mindkét háromszögben ugyanannyinak kell lennie. A rúdnál $2:1,5=\frac{4}{3}$, a fánál $16:12=\frac{4}{3}$. Stimmel.

Óvatosan a területtel

Csábító arra következtetni, hogy ha az oldalak k-szor hosszabbak, akkor a terület is k-szor nagyobb. Tévedés. A terület k²-szeresére nő.

Képzeljünk el egy háromszöget, amelynek minden oldala kétszer hosszabb. Ha összekötjük az oldalainak felezőpontjait, négy háromszögre esik szét, és mindegyik az eredeti háromszög pontos másolata:

A k = 2 hasonlósági arány mellett tehát a terület négyszer akkora, nem kétszer. Általában az A'B'C' háromszög területe

$$T^{\prime }=k^2\cdot T,$$

ahol T az eredeti háromszög területe. Ha k = 3, a terület kilencszer akkora. Ez olyan, mint a fényképnél: ha a szélességét és a magasságát is megduplázod, négyszer annyi papírra lesz szükséged.

Lásd még

• Háromszögek egybevágósága
• Arányok
• Hármasszabály