Semelhança de triângulos

Triângulos semelhantes têm a mesma forma, mas podem ter tamanhos diferentes. Um é uma cópia ampliada ou reduzida do outro, como quando você amplia uma imagem na copiadora. Podemos tranquilamente girar ou virar a cópia; isso não muda nada na semelhança.

Em triângulos semelhantes, os ângulos correspondentes têm a mesma medida e os lados correspondentes estão na mesma razão. Na figura, o lado a' é duas vezes maior que o lado a, o lado b' duas vezes maior que b e c' duas vezes maior que c. Chamamos esse número de razão de semelhança e o indicamos por k. Cada lado é k vezes maior:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Na figura, k = 2. Se k fosse menor que um, por exemplo $k=\frac{1}{2}$, o segundo triângulo seria, ao contrário, reduzido. Escrevemos a semelhança assim:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Como na congruência, a ordem dos vértices revela o que corresponde a quê: o vértice A corresponde ao vértice A', B a B' e C a C'. Triângulos congruentes são, na verdade, um caso especial dos semelhantes, com razão k = 1: a cópia não é nem maior nem menor.

Casos de semelhança

Podemos reconhecer se dois triângulos são semelhantes mesmo sem verificar todos os ângulos e todos os lados. Os casos de semelhança lembram os casos de congruência, só que, em vez de lados de mesmo comprimento, procuramos razões iguais entre os lados.

Caso AA: Se dois triângulos têm dois pares de ângulos de mesma medida, eles são semelhantes. Podemos dispensar a medição do terceiro ângulo. Os ângulos de um triângulo somam sempre 180°, então os terceiros ângulos também resultam necessariamente iguais.

Caso LLL: Se em dois triângulos coincidem as três razões entre os lados correspondentes, eles são semelhantes:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Caso LAL: Basta que dois lados correspondentes tenham a mesma razão e que o ângulo formado por esses lados tenha a mesma medida.

Exemplo: qual a altura de uma árvore

No jardim cresce uma árvore alta e queremos saber exatamente quanto ela mede. Não temos vontade de subir até a copa com uma trena. Por isso fincamos no chão uma haste vertical de 2 metros de altura. A haste projeta uma sombra de 1,5 metro e a árvore, no mesmo momento, projeta uma sombra de 12 metros.

A árvore, sua sombra e o raio de sol formam um triângulo. O segundo triângulo surge da haste, de sua sombra e do raio. A haste e a árvore estão perpendiculares ao chão, e assim os dois triângulos têm um ângulo reto na base. Os raios de sol chegam no mesmo momento com o mesmo ângulo, por isso, nos dois triângulos, também é igual o ângulo na ponta da sombra. Temos dois pares de ângulos iguais e, pelo caso AA, os triângulos são, portanto, semelhantes.

Tiramos a razão de semelhança das sombras: a sombra da árvore é k vezes maior que a sombra da haste:

$$k=12:1,5$$

Dividimos:

$$k=8$$

A árvore é, então, oito vezes mais alta que a haste. A altura da árvore é

$$h=8\cdot 2$$

Multiplicamos:

$$h=16\text{m}$$

A árvore mede 16 metros. Conferimos a correção pela razão entre a altura e a sombra, que deve ser igual nos dois triângulos. Na haste é $2:1,5=\frac{4}{3}$ e na árvore $16:12=\frac{4}{3}$. Confere.

Cuidado com a área

É tentador concluir que, se os lados são k vezes maiores, a área também será k vezes maior. Engano. A área cresce k² vezes.

Vamos imaginar um triângulo com todos os lados duas vezes maiores. Se ligarmos os pontos médios de seus lados, ele se divide em quatro triângulos, e cada um deles é uma cópia exata do original:

Com razão de semelhança k = 2, a área é, portanto, quatro vezes maior, não duas. Em geral vale que a área do triângulo A'B'C' é

$$A_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=k^2\cdot A_{ABC},$$

em que A_ABC é a área do triângulo original. Com k = 3, a área é nove vezes maior. É como numa foto: se você a amplia para o dobro da largura e da altura, ela gasta quatro vezes mais papel.

Veja também

• Congruência de triângulos
• Razões
• Regra de três