Подібність трикутників

Подібні трикутники мають однакову форму, але можуть бути різного розміру. Один із них — збільшена або зменшена копія другого, як от коли на копіювальному апараті збільшуєш зображення. Копію можна спокійно повернути чи перевернути, на подібності це не позначається.

У подібних трикутників відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. На рисунку сторона a' удвічі довша за сторону a, сторона b' удвічі довша за b, а c' удвічі довша за c. Це число називають коефіцієнтом подібності й позначають k. Кожна сторона в k разів довша:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

На рисунку k = 2. Якби k було менше за одиницю, наприклад $k=\frac{1}{2}$, другий трикутник був би, навпаки, зменшений. Подібність записують так:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Як і у випадку рівності трикутників, порядок вершин підказує, що чому відповідає: вершина A відповідає вершині A', B — вершині B', а C — вершині C'. Рівні трикутники — це, власне, окремий випадок подібних, з коефіцієнтом k = 1: копія не більша й не менша.

Ознаки подібності трикутників

Чи подібні два трикутники, можна дізнатися, не перевіряючи всі кути й усі сторони. Ознаки подібності нагадують ознаки рівності, тільки замість однакової довжини сторін шукаємо однакові відношення сторін.

Ознака за двома кутами: Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого, то такі трикутники подібні. Вимірювати третій кут не треба. Сума кутів трикутника завжди дорівнює 180°, тому й треті кути обов'язково виходять однаковими.

Ознака за трьома сторонами: Якщо в двох трикутників збігаються всі три відношення відповідних сторін, то такі трикутники подібні:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Ознака за двома сторонами й кутом між ними: Досить, щоб дві сторони одного трикутника були пропорційні двом відповідним сторонам другого, а кути між цими сторонами були рівні.

Приклад: яке дерево заввишки

У саду росте високе дерево, і нам цікаво, скільки воно має метрів. Видряпуватися з рулеткою на верхівку не хочеться. Тому встромляємо в землю вертикальну жердину заввишки 2 метри. Жердина відкидає тінь завдовжки 1,5 метра, а дерево в той самий час відкидає тінь завдовжки 12 метрів.

Дерево, його тінь і сонячний промінь утворюють трикутник. Другий трикутник утворюють жердина, її тінь і промінь. І жердина, і дерево стоять перпендикулярно до землі, тож в обох трикутників біля основи прямий кут. Сонячні промені падають у той самий момент під однаковим кутом, тому й кут на кінці тіні в обох трикутниках однаковий. Маємо дві пари однакових кутів, отже, за ознакою за двома кутами трикутники подібні.

Коефіцієнт подібності знаходимо з тіней: тінь дерева в k разів довша за тінь жердини:

$$k=12:1,5$$

Ділимо:

$$k=8$$

Отже, дерево у вісім разів вище за жердину. Висота дерева дорівнює

$$h=8\cdot 2$$

Множимо:

$$h=16\text{м}$$

Висота дерева — 16 метрів. Правильність перевіримо за відношенням висоти й тіні, яке в обох трикутників має бути однаковим. Для жердини $2:1,5=\frac{4}{3}$, а для дерева $16:12=\frac{4}{3}$. Збігається.

Обережно з площею

Напрошується висновок: якщо сторони в k разів довші, то й площа в k разів більша. Помилка. Площа зростає в k² разів.

Уявімо трикутник, усі сторони якого вдвічі довші. Якщо сполучити середини його сторін, він розпадеться на чотири трикутники, і кожен із них — точна копія початкового:

Отже, за коефіцієнта подібності k = 2 площа вчетверо більша, а не вдвічі. Загалом площа трикутника A'B'C' дорівнює

$$S^{\prime }=k^2\cdot S,$$

де S — площа початкового трикутника. За k = 3 площа в дев'ять разів більша. Так само і з фотографією: якщо збільшити її вдвічі в ширину й у висоту, то паперу піде вчетверо більше.

Дивись також

• Рівність трикутників
• Відношення величин
• Правило трьох