Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter har den samme form, men kan have en anden størrelse. Den ene er en forstørret eller formindsket kopi af den anden, som når du forstørrer et billede på en kopimaskine. Kopien kan vi roligt dreje eller vende om, det ændrer ikke noget ved ligedannetheden.

I ligedannede trekanter er tilsvarende vinkler lige store og tilsvarende sider i det samme forhold. På figuren er siden a' dobbelt så lang som siden a, siden b' dobbelt så lang som b og c' dobbelt så lang som c. Dette tal kalder vi ligedannethedsforholdet og betegner det k. Hver side er k gange så lang:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

På figuren er k = 2. Hvis k var mindre end én, for eksempel $k=\frac{1}{2}$, ville den anden trekant omvendt være formindsket. Ligedannethed skriver vi sådan her:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Ligesom ved kongruens afslører rækkefølgen af hjørnerne, hvad der svarer til hvad: hjørnet A svarer til hjørnet A', B til hjørnet B' og C til hjørnet C'. Kongruente trekanter er egentlig et særtilfælde af ligedannede, med ligedannethedsforholdet k = 1: kopien er hverken større eller mindre.

Ligedannethedssætninger

Om to trekanter er ligedannede, kan vi se uden at kontrollere alle vinkler og alle sider. Ligedannethedssætningerne minder om kongruenssætningerne, bare at vi i stedet for lige lange sider leder efter ens forhold mellem siderne.

Sætning vv: Hvis to trekanter har to par lige store vinkler, er de ligedannede. Vi kan spare os for at måle den tredje vinkel. Vinklerne i en trekant giver nemlig altid tilsammen 180°, så også de tredje vinkler bliver nødvendigvis lige store.

Sætning sss: Hvis alle tre forhold mellem tilsvarende sider stemmer overens i to trekanter, er de ligedannede:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Sætning svs: Det er nok, at to tilsvarende sider har samme forhold, og at den vinkel, som disse sider danner med hinanden, er lige stor.

Eksempel: hvor højt er træet

I haven vokser der et højt træ, og vi vil gerne vide, præcis hvor højt det er. Vi har ikke lyst til at kravle op i trækronen med et målebånd. Derfor stikker vi en lodret stang på 2 meter ned i jorden. Stangen kaster en skygge på 1,5 meter, og træet kaster på samme tidspunkt en skygge på 12 meter.

Træet, dets skygge og en solstråle danner en trekant. Den anden trekant opstår af stangen, dens skygge og en solstråle. Både stangen og træet står vinkelret på jorden, og derfor har begge trekanter en ret vinkel ved foden. Solstrålerne falder på samme tidspunkt ind under den samme vinkel, derfor er vinklen for enden af skyggen den samme i begge trekanter. Vi har to par lige store vinkler, og efter sætning vv er trekanterne derfor ligedannede.

Ligedannethedsforholdet aflæser vi af skyggerne: træets skygge er k gange så lang som stangens skygge:

$$k=12:1,5$$

Vi dividerer:

$$k=8$$

Træet er altså otte gange så højt som stangen. Træets højde er

$$h=8\cdot 2$$

Vi ganger:

$$h=16\text{m}$$

Træet måler 16 meter. Vi kontrollerer rigtigheden med forholdet mellem højde og skygge, som skal være det samme for begge trekanter. For stangen er $2:1,5=\frac{4}{3}$ og for træet $16:12=\frac{4}{3}$. Det passer.

Pas på arealet

Det er fristende at konkludere, at når siderne er k gange så lange, bliver arealet også k gange så stort. Det er en misforståelse. Arealet vokser k² gange.

Lad os forestille os en trekant med alle sider dobbelt så lange. Hvis vi forbinder midtpunkterne på dens sider, falder den fra hinanden i fire trekanter, og hver af dem er en præcis kopi af den oprindelige:

Ved ligedannethedsforholdet k = 2 er arealet altså fire gange så stort, ikke to gange. Generelt gælder, at arealet af trekanten A'B'C' er

$$T^{\prime }=k^2\cdot T,$$

hvor T er arealet af den oprindelige trekant. Ved k = 3 er arealet ni gange så stort. Det er som med et foto: når du forstørrer det til dobbelt bredde og højde, bruger det fire gange så meget papir.

Se også

• Kongruente trekanter
• Forhold
• Enhedsmetoden