Kolmioiden yhdenmuotoisuus

Yhdenmuotoisilla kolmioilla on sama muoto, mutta koko voi olla eri. Toinen on toisen suurennettu tai pienennetty kopio, aivan kuin suurentaisit kuvan kopiokoneella. Kopion voi vapaasti kiertää tai kääntää, se ei muuta yhdenmuotoisuutta.

Yhdenmuotoisissa kolmioissa vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivut samassa suhteessa. Kuvassa sivu a' on kaksi kertaa pidempi kuin sivu a, sivu b' kaksi kertaa pidempi kuin b ja c' kaksi kertaa pidempi kuin c. Tätä lukua kutsumme yhdenmuotoisuussuhteeksi ja merkitsemme sitä k. Jokainen sivu on k kertaa pidempi:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Kuvassa k = 2. Jos k olisi pienempi kuin yksi, vaikkapa $k=\frac{1}{2}$, toinen kolmio olisi päinvastoin pienennetty. Yhdenmuotoisuus kirjoitetaan näin:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Samoin kuin yhtenevyydessä kärkien järjestys kertoo, mikä vastaa mitäkin: kärki A vastaa kärkeä A', B kärkeä B' ja C kärkeä C'. Yhtenevät kolmiot ovat itse asiassa yhdenmuotoisten erikoistapaus, jossa suhde on k = 1: kopio ei ole suurempi eikä pienempi.

Yhdenmuotoisuuslauseet

Sen, ovatko kaksi kolmiota yhdenmuotoisia, voi tunnistaa tarkistamatta kaikkia kulmia ja kaikkia sivuja. Yhdenmuotoisuuslauseet muistuttavat yhtenevyyslauseita, vain yhtä pitkien sivujen sijaan etsimme samoja sivujen suhteita.

Lause kk: Jos kahdessa kolmiossa on kaksi paria yhtä suuria kulmia, ne ovat yhdenmuotoisia. Kolmannen kulman mittaaminen voidaan jättää väliin. Kolmion kulmat ovat yhteensä aina 180°, joten myös kolmannet kulmat ovat välttämättä yhtä suuret.

Lause sss: Jos kahden kolmion kaikki kolme vastinsivujen suhdetta ovat samat, kolmiot ovat yhdenmuotoisia:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Lause sks: Riittää, että kahden vastinsivun suhde on sama ja näiden sivujen välinen kulma on yhtä suuri.

Esimerkki: kuinka korkea puu on

Puutarhassamme kasvaa korkea puu, ja haluamme tietää, kuinka korkea se tarkalleen on. Mittanauhan kanssa latvaan kiipeäminen ei houkuta. Pistämme siksi maahan pystyyn kaksi metriä korkean tangon. Tanko heittää 1,5 metrin pituisen varjon, ja puu heittää samaan aikaan 12 metrin pituisen varjon.

Puu, sen varjo ja auringonsäde muodostavat kolmion. Toinen kolmio muodostuu tangosta, sen varjosta ja säteestä. Sekä tanko että puu seisovat kohtisuorassa maahan nähden, joten molemmissa kolmioissa on tyvessä suorakulma. Auringonsäteet osuvat samalla hetkellä samassa kulmassa, joten molemmissa kolmioissa on yhtä suuri myös kulma varjon päässä. Meillä on kaksi paria yhtä suuria kulmia, ja lauseen kk mukaan kolmiot ovat siis yhdenmuotoisia.

Yhdenmuotoisuussuhde luetaan varjoista: puun varjo on k kertaa pidempi kuin tangon varjo:

$$k=12:1,5$$

Jaetaan:

$$k=8$$

Puu on siis kahdeksan kertaa tankoa korkeampi. Puun korkeus on

$$h=8\cdot 2$$

Kerrotaan:

$$h=16\text{m}$$

Puu on 16 metriä korkea. Oikeellisuuden tarkistamme korkeuden ja varjon suhteella, jonka on oltava molemmissa kolmioissa sama. Tangolla $2:1,5=\frac{4}{3}$ ja puulla $16:12=\frac{4}{3}$. Täsmää.

Varo pinta-alaa

On houkuttelevaa päätellä, että jos sivut ovat k kertaa pidempiä, myös pinta-ala on k kertaa suurempi. Erehdys. Pinta-ala kasvaa k²-kertaiseksi.

Kuvitellaan kolmio, jonka kaikki sivut ovat kaksi kertaa pidempiä. Jos yhdistämme sen sivujen keskipisteet, se jakautuu neljäksi kolmioksi, joista jokainen on alkuperäisen tarkka kopio:

Kun yhdenmuotoisuussuhde on k = 2, pinta-ala on siis neljä kertaa suurempi, ei kaksi kertaa. Yleisesti kolmion A'B'C' pinta-ala on

$$A^{\prime }=k^2\cdot A,$$

missä A on alkuperäisen kolmion pinta-ala. Kun k = 3, pinta-ala on yhdeksän kertaa suurempi. Se on kuin valokuvassa: kun suurennat sen kaksinkertaiseksi sekä leveydeltä että korkeudelta, se kuluttaa neljä kertaa enemmän paperia.

Katso myös

• Kolmioiden yhtenevyys
• Suhteet
• Verranto