✖

Semejanza de triángulos

Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener distinto tamaño. Uno es una copia ampliada o reducida del otro, como cuando amplías una imagen en la fotocopiadora. Podemos girar o dar la vuelta a la copia sin problema: eso no cambia la semejanza.

A la derecha, el triángulo ABC ampliado al doble; la razón de semejanza es k=2

En triángulos semejantes, los ángulos correspondientes tienen la misma amplitud y los lados correspondientes son proporcionales. En la figura, el lado a' es el doble de largo que el lado a, el lado b' el doble que b y c' el doble que c. A ese número lo llamamos razón de semejanza y lo designamos con k. Cada lado es k veces más largo:

a′=k⋅a,b′=k⋅b,c′=k⋅c

En la figura, k = 2. Si k fuera menor que uno, por ejemplo k=12, el segundo triángulo sería, al contrario, una reducción. La semejanza se escribe así:

△ABC∼△A′B′C′

Como en la igualdad de triángulos, el orden de los vértices nos dice qué corresponde a qué: el vértice A corresponde a A', el B a B' y el C a C'. Los triángulos iguales son en realidad un caso particular de triángulos semejantes, con razón k = 1: la copia no es ni mayor ni menor.

Criterios de semejanza

Para saber si dos triángulos son semejantes no hace falta comprobar todos los ángulos y todos los lados. Los criterios de semejanza se parecen a los de igualdad, solo que en lugar de lados de igual longitud buscamos razones iguales entre los lados.

Criterio AA: Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos de la misma amplitud, son semejantes. Nos ahorramos medir el tercer ángulo. Los ángulos de un triángulo suman siempre 180°, así que los terceros ángulos también tienen que salir iguales.

Criterio AA: los dos triángulos tienen los mismos ángulos α y β

Criterio LLL: Si en dos triángulos coinciden las tres razones entre los lados correspondientes, son semejantes:

a′a=b′b=c′c

Criterio LLL: los tres lados son el doble de largos

Criterio LAL: Basta con que dos pares de lados correspondientes estén en la misma razón y que los ángulos comprendidos entre ellos tengan la misma amplitud.

Criterio LAL: los lados b y c son el doble de largos y el ángulo α comprendido entre ellos es el mismo

Ejemplo: la altura de un árbol

En el jardín tenemos un árbol alto y queremos saber cuánto mide exactamente. No nos apetece trepar con un metro hasta la copa. Por eso clavamos en el suelo una vara vertical de 2 metros. La vara proyecta una sombra de 1,5 metros y, en ese mismo momento, el árbol proyecta una sombra de 12 metros.

Árbol y vara con sus sombras; la altura del árbol la designamos con h

El árbol, su sombra y el rayo de sol forman un triángulo. El segundo triángulo lo forman la vara, su sombra y el rayo. La vara y el árbol están perpendiculares al suelo, así que los dos triángulos tienen un ángulo recto en la base. Los rayos del sol llegan en el mismo momento con la misma inclinación, por lo que también es igual el ángulo en el extremo de la sombra. Tenemos dos pares de ángulos iguales y, según el criterio AA, los triángulos son semejantes.

La razón de semejanza sale de las sombras: la sombra del árbol es k veces más larga que la de la vara:

k=12:1,5

Dividimos:

k=8

Así que el árbol es ocho veces más alto que la vara. La altura del árbol es

h=8⋅2

Multiplicamos:

h=16m

El árbol mide 16 metros. Comprobamos el resultado con la razón entre la altura y la sombra, que tiene que ser la misma en los dos triángulos. En la vara es 2:1,5=43 y en el árbol 16:12=43. Cuadra.

Ojo con el área

Resulta tentador concluir que, si los lados son k veces más largos, el área también será k veces mayor. Error. El área aumenta k2 veces.

Imaginemos un triángulo con todos los lados el doble de largos. Si unimos los puntos medios de sus lados, se descompone en cuatro triángulos, y cada uno de ellos es una copia exacta del original:

Un triángulo con los lados el doble de largos se compone de cuatro copias del triángulo ABC

Con razón de semejanza k = 2, el área es, por tanto, cuatro veces mayor, no el doble. En general, para el área del triángulo A'B'C' y la del triángulo original ABC se cumple

Área(A′B′C′)=k2⋅Área(ABC).

Con k = 3, el área es nueve veces mayor. Es como con una foto: si la amplías al doble de ancho y de alto, gasta cuatro veces más papel.

Véase también

Capítulos: Triángulo, Altura de un triángulo, Mediana de un triángulo, Circunferencias inscrita y circunscrita en un triángulo, Triángulo rectángulo, Cómo construir un triángulo, Igualdad de triángulos, Semejanza de triángulos, Área de un triángulo, Teorema de Pitágoras