Formlikhet mellom trekanter

Formlike trekanter har samme form, men kan ha ulik størrelse. Den ene er en forstørret eller forminsket kopi av den andre, som når du forstørrer et bilde på en kopimaskin. Kopien kan vi gjerne dreie eller snu, det endrer ikke noe ved formlikheten.

I formlike trekanter er tilsvarende vinkler like store og tilsvarende sider i samme forhold. På figuren er siden a' dobbelt så lang som siden a, siden b' dobbelt så lang som b og c' dobbelt så lang som c. Dette tallet kaller vi målestokken (eller formlikhetsforholdet), og vi betegner det k. Hver side er k ganger så lang:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

På figuren er k = 2. Hvis k var mindre enn én, for eksempel $k=\frac{1}{2}$, ville den andre trekanten i stedet vært forminsket. Formlikhet skriver vi slik:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

På samme måte som for kongruens forteller rekkefølgen på hjørnene oss hva som svarer til hva: Hjørnet A svarer til hjørnet A', B til B' og C til C'. Kongruente trekanter er egentlig et spesialtilfelle av formlike trekanter, med målestokk k = 1: Kopien er verken større eller mindre.

Formlikhetssetninger

Om to trekanter er formlike, kan vi se uten å kontrollere alle vinklene og alle sidene. Formlikhetssetningene minner om kongruenssetningene, bare at vi i stedet for like lange sider leter etter like forhold mellom sider.

Setningen vv: Hvis to trekanter har to par like store vinkler, er de formlike. Vi kan spare oss for å måle den tredje vinkelen. Vinklene i en trekant er alltid 180° til sammen, så også de tredje vinklene må nødvendigvis bli like.

Setningen sss: Hvis alle de tre forholdene mellom tilsvarende sider er like i to trekanter, er de formlike:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Setningen svs: Det holder at to tilsvarende sider har samme forhold og at vinkelen mellom disse sidene er like stor.

Eksempel: hvor høyt er treet

I hagen vår vokser det et høyt tre, og vi vil gjerne vite nøyaktig hvor høyt det er. Vi har ikke lyst til å klatre opp i trekronen med et målebånd. Derfor setter vi en loddrett stang på 2 meter ned i bakken. Stangen kaster en skygge på 1,5 meter, og samtidig kaster treet en skygge på 12 meter.

Treet, skyggen og solstrålen danner en trekant. En annen trekant dannes av stangen, skyggen og solstrålen. Både stangen og treet står vinkelrett på bakken, så begge trekantene har en rett vinkel ved foten. Solstrålene faller samtidig inn under samme vinkel, derfor er også vinkelen i enden av skyggen den samme i begge trekantene. Vi har to par like vinkler, og etter setningen vv er trekantene dermed formlike.

Målestokken leser vi av skyggene: Skyggen til treet er k ganger så lang som skyggen til stangen:

$$k=12:1,5$$

Vi deler:

$$k=8$$

Treet er altså åtte ganger så høyt som stangen. Høyden på treet er

$$h=8\cdot 2$$

Vi multipliserer:

$$h=16\text{m}$$

Treet er 16 meter høyt. Vi kontrollerer at det stemmer, med forholdet mellom høyde og skygge, som må være det samme i begge trekantene. For stangen er $2:1,5=\frac{4}{3}$ og for treet $16:12=\frac{4}{3}$. Det stemmer.

Pass på arealet

Det er fristende å konkludere med at hvis sidene er k ganger så lange, blir også arealet k ganger så stort. Det er feil. Arealet vokser med faktoren k².

La oss forestille oss en trekant der alle sidene er dobbelt så lange. Hvis vi forbinder midtpunktene på sidene, faller den fra hverandre i fire trekanter, og hver av dem er en nøyaktig kopi av den opprinnelige:

Med målestokk k = 2 er arealet altså fire ganger så stort, ikke to ganger. Generelt gjelder det at arealet av trekanten A'B'C' er

$$A^{\prime }=k^2\cdot A,$$

der A er arealet av den opprinnelige trekanten. Med k = 3 er arealet ni ganger så stort. Det er som med et foto: Når du forstørrer det til dobbel bredde og høyde, bruker det fire ganger så mye papir.

Se også

• Kongruens av trekanter
• Forhold
• Proporsjonalitet