Asemănarea triunghiurilor

Triunghiurile asemenea au aceeași formă, dar pot avea mărimi diferite. Unul este o copie mărită sau micșorată a celuilalt, ca atunci când mărești o imagine la copiator. Copia o putem roti sau întoarce fără probleme, asemănarea nu se schimbă.

La triunghiurile asemenea, unghiurile corespunzătoare au aceeași măsură, iar laturile corespunzătoare sunt în același raport. În figură, latura a' este de două ori mai lungă decât latura a, latura b' de două ori mai lungă decât b, iar c' de două ori mai lungă decât c. Acest număr se numește raport de asemănare și îl notăm cu k. Fiecare latură este de k ori mai lungă:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

În figură, k = 2. Dacă k ar fi mai mic decât unu, de exemplu $k=\frac{1}{2}$, al doilea triunghi ar fi, dimpotrivă, micșorat. Asemănarea se scrie așa:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Ca la congruență, ordinea vârfurilor ne arată ce corespunde cu ce: vârful A corespunde vârfului A', B vârfului B', iar C vârfului C'. Triunghiurile congruente sunt de fapt un caz particular de triunghiuri asemenea, cu raportul k = 1: copia nu este nici mai mare, nici mai mică.

Cazurile de asemănare

Ca să aflăm dacă două triunghiuri sunt asemenea, nu trebuie să verificăm toate unghiurile și toate laturile. Cazurile de asemănare seamănă cu cele de congruență, doar că în loc de laturi de aceeași lungime căutăm rapoarte egale ale laturilor.

Cazul UU (unghi, unghi): Dacă două triunghiuri au două perechi de unghiuri cu aceeași măsură, ele sunt asemenea. Putem să ne scutim de măsurarea celui de-al treilea unghi. Suma unghiurilor unui triunghi este întotdeauna 180°, deci și al treilea unghi are neapărat aceeași măsură în ambele triunghiuri.

Cazul LLL (latură, latură, latură): Dacă la două triunghiuri toate cele trei rapoarte ale laturilor corespunzătoare sunt egale, triunghiurile sunt asemenea:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Cazul LUL (latură, unghi, latură): Ajunge ca două laturi corespunzătoare să aibă același raport, iar unghiul cuprins între ele să aibă aceeași măsură.

Exemplu: cât de înalt este copacul

În grădină ne crește un copac înalt și vrem să aflăm cât măsoară exact. Nu ne tentează să urcăm cu ruleta până în vârf. Înfigem deci în pământ un băț vertical înalt de 2 metri. Bățul aruncă o umbră lungă de 1,5 metri, iar copacul aruncă în același moment o umbră lungă de 12 metri.

Copacul, umbra lui și raza de soare formează un triunghi. Al doilea triunghi este format din băț, umbra lui și raza de soare. Și bățul, și copacul stau perpendicular pe pământ, așa că ambele triunghiuri au un unghi drept la bază. Razele soarelui cad în același moment sub același unghi, deci și unghiul de la capătul umbrei este egal în cele două triunghiuri. Avem două perechi de unghiuri egale, deci, conform cazului UU, triunghiurile sunt asemenea.

Raportul de asemănare îl aflăm din umbre: umbra copacului este de k ori mai lungă decât umbra bățului:

$$k=12:1,5$$

Împărțim:

$$k=8$$

Copacul este deci de opt ori mai înalt decât bățul. Înălțimea copacului este

$$h=8\cdot 2$$

Înmulțim:

$$h=16\text{m}$$

Copacul măsoară 16 metri. Verificăm rezultatul cu raportul dintre înălțime și umbră, care trebuie să fie același la ambele triunghiuri. La băț avem $2:1,5=\frac{4}{3}$, iar la copac $16:12=\frac{4}{3}$. Se potrivește.

Atenție la arie

Ești tentat să tragi concluzia că, dacă laturile sunt de k ori mai lungi, și aria va fi de k ori mai mare. Greșit. Aria crește de k² ori.

Să ne imaginăm un triunghi cu toate laturile de două ori mai lungi. Dacă unim mijloacele laturilor lui, el se împarte în patru triunghiuri, iar fiecare dintre ele este o copie exactă a triunghiului inițial:

La raportul de asemănare k = 2, aria este deci de patru ori mai mare, nu de două ori. În general, aria triunghiului A'B'C' este

$${\mathcal{A}}^{\prime }=k^2\cdot \mathcal{A},$$

unde $\mathcal{A}$ este aria triunghiului inițial. La k = 3, aria este de nouă ori mai mare. Este ca la o fotografie: dacă îi dublezi și lățimea, și înălțimea, consumă de patru ori mai multă hârtie.

Vezi și

• Congruența triunghiurilor
• Rapoarte
• Regula de trei simplă