Ähnlichkeit von Dreiecken

Ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form, können aber unterschiedlich groß sein. Das eine ist eine vergrößerte oder verkleinerte Kopie des anderen, so als würdest du ein Bild im Kopierer vergrößern. Die Kopie dürfen wir ruhig drehen oder umklappen, an der Ähnlichkeit ändert das nichts.

Bei ähnlichen Dreiecken sind einander entsprechende Winkel gleich groß und einander entsprechende Seiten stehen im selben Verhältnis. In der Abbildung ist die Seite a' doppelt so lang wie die Seite a, die Seite b' doppelt so lang wie b und c' doppelt so lang wie c. Diese Zahl nennen wir den Ähnlichkeitsfaktor und bezeichnen sie mit k. Jede Seite ist k-mal so lang:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

In der Abbildung ist k = 2. Wäre k kleiner als eins, etwa $k=\frac{1}{2}$, wäre das zweite Dreieck dagegen verkleinert. Die Ähnlichkeit schreiben wir so:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Wie bei der Kongruenz verrät uns die Reihenfolge der Eckpunkte, was wem entspricht: Der Eckpunkt A entspricht dem Eckpunkt A', B dem Eckpunkt B' und C dem Eckpunkt C'. Kongruente Dreiecke sind eigentlich ein Spezialfall ähnlicher Dreiecke, mit dem Faktor k = 1: Die Kopie ist weder größer noch kleiner.

Ähnlichkeitssätze

Ob zwei Dreiecke ähnlich sind, erkennen wir auch, ohne alle Winkel und alle Seiten zu überprüfen. Die Ähnlichkeitssätze erinnern an die Kongruenzsätze, nur suchen wir statt gleich langer Seiten gleiche Seitenverhältnisse.

Satz WW: Haben zwei Dreiecke zwei Paare gleich großer Winkel, sind sie ähnlich. Den dritten Winkel müssen wir gar nicht messen. Die Winkel im Dreieck ergeben zusammen immer 180°, also sind auch die dritten Winkel zwangsläufig gleich groß.

Satz SSS: Stimmen bei zwei Dreiecken alle drei Verhältnisse einander entsprechender Seiten überein, sind die Dreiecke ähnlich:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Satz SWS: Es genügt, wenn zwei Paare einander entsprechender Seiten im selben Verhältnis stehen und der Winkel, den diese Seiten einschließen, gleich groß ist.

Beispiel: Wie hoch ist der Baum

In unserem Garten wächst ein hoher Baum, und wir möchten wissen, wie hoch er genau ist. Mit dem Maßband in die Baumkrone zu klettern, haben wir keine Lust. Deshalb stecken wir einen 2 Meter langen Stab senkrecht in den Boden. Der Stab wirft einen 1,5 Meter langen Schatten, und der Baum wirft zur selben Zeit einen 12 Meter langen Schatten.

Der Baum, sein Schatten und ein Sonnenstrahl bilden ein Dreieck. Ein zweites Dreieck entsteht aus dem Stab, seinem Schatten und dem Sonnenstrahl. Stab und Baum stehen senkrecht auf dem Boden, deshalb haben beide Dreiecke am Fußpunkt einen rechten Winkel. Die Sonnenstrahlen fallen zur selben Zeit unter demselben Winkel ein, also ist in beiden Dreiecken auch der Winkel am Ende des Schattens gleich groß. Wir haben zwei Paare gleich großer Winkel, und nach dem Satz WW sind die Dreiecke daher ähnlich.

Den Ähnlichkeitsfaktor lesen wir an den Schatten ab: Der Schatten des Baumes ist k-mal so lang wie der Schatten des Stabes:

$$k=12:1,5$$

Wir dividieren:

$$k=8$$

Der Baum ist also achtmal so hoch wie der Stab. Die Höhe des Baumes ist

$$h=8\cdot 2$$

Wir multiplizieren:

$$h=16\text{m}$$

Der Baum ist 16 Meter hoch. Zur Probe vergleichen wir das Verhältnis von Höhe und Schatten, das bei beiden Dreiecken gleich sein muss. Beim Stab ist $2:1,5=\frac{4}{3}$ und beim Baum $16:12=\frac{4}{3}$. Das passt.

Vorsicht beim Flächeninhalt

Man ist leicht versucht zu glauben: Wenn die Seiten k-mal so lang sind, ist auch der Flächeninhalt k-mal so groß. Das ist ein Irrtum. Der Flächeninhalt wächst auf das k²-Fache.

Stellen wir uns ein Dreieck vor, dessen Seiten alle doppelt so lang sind. Verbinden wir die Mittelpunkte seiner Seiten, zerfällt es in vier Dreiecke, und jedes davon ist eine genaue Kopie des ursprünglichen Dreiecks:

Beim Ähnlichkeitsfaktor k = 2 ist der Flächeninhalt also viermal so groß, nicht doppelt so groß. Allgemein gilt für den Flächeninhalt A' des ähnlichen Dreiecks

$$A^{\prime }=k^2\cdot A,$$

wobei A der Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks ist. Bei k = 3 ist der Flächeninhalt neunmal so groß. Das ist wie bei einem Foto: Vergrößerst du es auf die doppelte Breite und die doppelte Höhe, braucht es viermal so viel Papier.

Siehe auch

• Kongruenz von Dreiecken
• Verhältnisse
• Dreisatz