Podobieństwo trójkątów

Trójkąty podobne mają ten sam kształt, ale mogą mieć inny rozmiar. Jeden jest powiększoną lub pomniejszoną kopią drugiego, jak wtedy, gdy powiększasz obrazek na kserokopiarce. Kopię wolno przy tym obrócić albo odwrócić, podobieństwa to nie zmienia.

W trójkątach podobnych odpowiadające sobie kąty mają równe miary, a odpowiadające sobie boki są w tym samym stosunku. Na rysunku bok a' jest dwa razy dłuższy niż bok a, bok b' dwa razy dłuższy niż b, a c' dwa razy dłuższy niż c. Tę liczbę nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją k. Każdy bok jest k razy dłuższy:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Na rysunku k = 2. Gdyby k było mniejsze od jedności, na przykład $k=\frac{1}{2}$, drugi trójkąt byłby natomiast pomniejszony. Podobieństwo zapisujemy tak:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Podobnie jak przy przystawaniu, kolejność wierzchołków mówi, co czemu odpowiada: wierzchołek A odpowiada wierzchołkowi A', B wierzchołkowi B', a C wierzchołkowi C'. Trójkąty przystające to właściwie szczególny przypadek podobnych, o skali k = 1: kopia nie jest ani większa, ani mniejsza.

Cechy podobieństwa trójkątów

Czy dwa trójkąty są podobne, można rozpoznać bez sprawdzania wszystkich kątów i wszystkich boków. Cechy podobieństwa przypominają cechy przystawania, tylko zamiast boków równej długości szukamy równych stosunków boków.

Cecha kkk: Jeśli dwa trójkąty mają dwie pary kątów o równych miarach, są podobne. Pomiar trzeciego kąta możemy sobie darować. Kąty w trójkącie zawsze dają razem 180°, więc trzecie kąty też muszą wyjść równe.

Cecha bbb: Jeśli w dwóch trójkątach równe są wszystkie trzy stosunki odpowiadających sobie boków, trójkąty są podobne:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Cecha bkb: Wystarczy, że dwie pary odpowiadających sobie boków są w tym samym stosunku, a kąty zawarte między tymi bokami mają równe miary.

Przykład: jak wysokie jest drzewo

W ogrodzie rośnie wysokie drzewo i chcemy wiedzieć, ile dokładnie mierzy. Nie mamy ochoty wspinać się z miarką na sam czubek. Wbijamy więc w ziemię pionowy drążek o wysokości 2 metrów. Drążek rzuca cień długości 1,5 metra, a drzewo w tej samej chwili rzuca cień długości 12 metrów.

Drzewo, jego cień i promień słoneczny tworzą trójkąt. Drugi trójkąt powstaje z drążka, jego cienia i promienia. Drążek i drzewo stoją prostopadle do ziemi, więc oba trójkąty mają przy podstawie kąt prosty. Promienie słoneczne padają w tej samej chwili pod tym samym kątem, dlatego w obu trójkątach równy jest też kąt na końcu cienia. Mamy dwie pary kątów o równych miarach, a zatem na mocy cechy kkk trójkąty są podobne.

Skalę podobieństwa odczytamy z cieni: cień drzewa jest k razy dłuższy niż cień drążka:

$$k=12:1,5$$

Dzielimy:

$$k=8$$

Drzewo jest więc osiem razy wyższe niż drążek. Wysokość drzewa wynosi

$$h=8\cdot 2$$

Mnożymy:

$$h=16\text{m}$$

Drzewo ma 16 metrów. Poprawność sprawdzimy stosunkiem wysokości do cienia, który musi być taki sam w obu trójkątach. Dla drążka $2:1,5=\frac{4}{3}$, a dla drzewa $16:12=\frac{4}{3}$. Zgadza się.

Uwaga na pole

Kusi, żeby wywnioskować, że skoro boki są k razy dłuższe, to i pole jest k razy większe. To błąd. Pole rośnie k² razy.

Wyobraźmy sobie trójkąt, którego wszystkie boki są dwa razy dłuższe. Gdy połączymy środki jego boków, rozpadnie się na cztery trójkąty, a każdy z nich jest dokładną kopią pierwotnego:

Przy skali podobieństwa k = 2 pole jest więc cztery razy większe, a nie dwa razy. Ogólnie pole trójkąta A'B'C' wynosi

$$P^{\prime }=k^2\cdot P,$$

gdzie P jest polem pierwotnego trójkąta. Przy k = 3 pole jest dziewięć razy większe. Jest tak jak ze zdjęciem: gdy powiększysz je do dwukrotnej szerokości i wysokości, zużyje cztery razy więcej papieru.

Zobacz też

• Przystawanie trójkątów
• Stosunki
• Reguła trzech