Gelijkvormigheid van driehoeken

Gelijkvormige driehoeken hebben dezelfde vorm, maar kunnen een andere grootte hebben. De ene is een vergrote of verkleinde kopie van de andere, zoals wanneer je op een kopieerapparaat een plaatje vergroot. De kopie mogen we gerust draaien of omkeren, aan de gelijkvormigheid verandert dat niets.

Rechts staat de tweemaal vergrote driehoek ABC, de gelijkvormigheidsfactor is k=2

Bij gelijkvormige driehoeken zijn overeenkomstige hoeken even groot en overeenkomstige zijden in dezelfde verhouding. In de afbeelding is zijde a' twee keer zo lang als zijde a, zijde b' twee keer zo lang als b en c' twee keer zo lang als c. Dat getal noemen we de gelijkvormigheidsfactor (ook wel vergrotingsfactor) en we noteren het met k. Elke zijde is k keer zo lang:

$a^{'} = k \cdot a, b^{'} = k \cdot b, c^{'} = k \cdot c$

In de afbeelding is k = 2. Als k kleiner was dan één, bijvoorbeeld $k = \frac{1}{2}$ , zou de tweede driehoek juist verkleind zijn. Gelijkvormigheid schrijven we zo op:

$△ A B C \sim △ A^{'} B^{'} C^{'}$

Net als bij congruentie vertelt de volgorde van de hoekpunten ons wat bij wat hoort: hoekpunt A hoort bij hoekpunt A', B bij B' en C bij C'. Congruente driehoeken zijn eigenlijk een speciaal geval van gelijkvormige, met factor k = 1: de kopie is niet groter en niet kleiner.

Gelijkvormigheidskenmerken

Of twee driehoeken gelijkvormig zijn, zien we ook zonder alle hoeken en alle zijden te controleren. De gelijkvormigheidskenmerken lijken op de congruentiekenmerken, alleen zoeken we in plaats van even lange zijden gelijke verhoudingen van zijden.

Kenmerk hh: Als twee driehoeken twee paar even grote hoeken hebben, zijn ze gelijkvormig. Het meten van de derde hoek kunnen we ons besparen. De hoeken van een driehoek zijn samen altijd 180°, dus ook de derde hoeken zijn noodzakelijk gelijk.

Kenmerk hh: beide driehoeken hebben even grote hoeken α en β

Kenmerk zzz: Als bij twee driehoeken alle drie de verhoudingen van overeenkomstige zijden gelijk zijn, zijn ze gelijkvormig:

$\frac{a^{'}}{a} = \frac{b^{'}}{b} = \frac{c^{'}}{c}$

Kenmerk zzz: alle drie de zijden zijn twee keer zo lang

Kenmerk zhz: Het volstaat dat twee overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben en dat de hoek die deze zijden insluiten even groot is.

Kenmerk zhz: zijden b en c zijn twee keer zo lang en hoek α ertussen is gelijk

Voorbeeld: hoe hoog is een boom

In de tuin groeit een hoge boom en we willen weten hoe hoog hij precies is. Met een meetlint in de kroon klimmen zien we niet zitten. Daarom steken we een verticale paal van 2 meter hoog in de grond. De paal werpt een schaduw van 1,5 meter lang en de boom werpt op hetzelfde moment een schaduw van 12 meter lang.

Een boom en een paal met hun schaduwen, de hoogte van de boom noemen we h

De boom, zijn schaduw en een zonnestraal vormen een driehoek. Een tweede driehoek ontstaat uit de paal, zijn schaduw en een straal. De paal en de boom staan beide loodrecht op de grond, dus beide driehoeken hebben bij de voet een rechte hoek. De zonnestralen vallen op hetzelfde moment onder dezelfde hoek in, daarom is in beide driehoeken ook de hoek aan het einde van de schaduw gelijk. We hebben twee paar gelijke hoeken en volgens kenmerk hh zijn de driehoeken dus gelijkvormig.

De gelijkvormigheidsfactor lezen we af uit de schaduwen: de schaduw van de boom is k keer zo lang als de schaduw van de paal:

$k = 12 : 1, 5$

We delen:

$k = 8$

De boom is dus acht keer zo hoog als de paal. De hoogte van de boom is

$h = 8 \cdot 2$

We vermenigvuldigen:

$h = 16 m$

De boom is 16 meter hoog. De juistheid controleren we met de verhouding van hoogte en schaduw, die bij beide driehoeken gelijk moet zijn. Bij de paal is $2 : 1, 5 = \frac{4}{3}$ en bij de boom $16 : 12 = \frac{4}{3}$ . Dat klopt.

Let op de oppervlakte

Het is verleidelijk te concluderen dat als de zijden k keer zo lang zijn, ook de oppervlakte k keer zo groot is. Dat is een misvatting. De oppervlakte wordt k² keer zo groot.

Stel je een driehoek voor met alle zijden twee keer zo lang. Als we de middens van zijn zijden verbinden, valt hij uiteen in vier driehoeken en elk daarvan is een exacte kopie van de oorspronkelijke:

Een driehoek met twee keer zo lange zijden bestaat uit vier kopieën van driehoek ABC

Bij gelijkvormigheidsfactor k = 2 is de oppervlakte dus vier keer zo groot, niet twee keer. In het algemeen geldt dat de oppervlakte van een driehoek A'B'C' gelijk is aan

${opp.}^{'} = k^{2} \cdot opp.,$

waarbij opp. de oppervlakte van de oorspronkelijke driehoek is. Bij k = 3 is de oppervlakte negen keer zo groot. Het is net als bij een foto: als je hem vergroot tot twee keer zo breed en twee keer zo hoog, gebruikt hij vier keer zoveel papier.

Zie ook

Hoofdstukken: Driehoek, Hoogtelijn van een driehoek, Zwaartelijn van een driehoek, Cirkels bij een driehoek, Rechthoekige driehoek, Hoe teken je een driehoek, Congruentie van driehoeken, Gelijkvormigheid van driehoeken, Oppervlakte van een driehoek, Stelling van Pythagoras

« Vorige: Congruentie van driehoeken

Volgende: Oppervlakte van een driehoek »