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Similitudine tra triangoli

Due triangoli simili hanno la stessa forma, ma possono avere dimensioni diverse. Uno è un ingrandimento o una riduzione dell’altro, come quando ingrandisci un’immagine con la fotocopiatrice. La copia possiamo tranquillamente ruotarla o rovesciarla: ai fini della similitudine non cambia nulla.

A destra c’è il triangolo ABC ingrandito due volte, il rapporto di similitudine è k=2

In due triangoli simili gli angoli corrispondenti hanno la stessa ampiezza e i lati corrispondenti sono in proporzione. Nella figura il lato a' è lungo il doppio del lato a, il lato b' il doppio di b e c' il doppio di c. Questo numero si chiama rapporto di similitudine e lo indichiamo con k. Ogni lato è k volte più lungo:

a′=k⋅a,b′=k⋅b,c′=k⋅c

Nella figura è k = 2. Se k fosse minore di uno, per esempio k=12, il secondo triangolo sarebbe invece ridotto. La similitudine si scrive così:

△ABC∼△A′B′C′

Come per la congruenza, l’ordine dei vertici ci dice che cosa corrisponde a che cosa: il vertice A corrisponde ad A', B a B' e C a C'. I triangoli congruenti sono in fondo un caso particolare di triangoli simili, con rapporto k = 1: la copia non è né più grande né più piccola.

Criteri di similitudine

Per capire se due triangoli sono simili non serve verificare tutti gli angoli e tutti i lati. I criteri di similitudine ricordano quelli di congruenza, solo che al posto di lati lunghi uguali cerchiamo rapporti uguali tra i lati.

Criterio AA (primo criterio di similitudine): Se due triangoli hanno due coppie di angoli congruenti, sono simili. Possiamo risparmiarci la misura del terzo angolo. Gli angoli di un triangolo sommano sempre 180°, quindi anche i terzi angoli risultano necessariamente uguali.

Criterio AA: i due triangoli hanno gli stessi angoli α e β

Criterio LLL (terzo criterio di similitudine): Se in due triangoli i tre rapporti tra i lati corrispondenti sono uguali, i triangoli sono simili:

a′a=b′b=c′c

Criterio LLL: tutti e tre i lati sono lunghi il doppio

Criterio LAL (secondo criterio di similitudine): Basta che due lati corrispondenti siano nello stesso rapporto e che l’angolo compreso tra essi abbia la stessa ampiezza.

Criterio LAL: i lati b e c sono lunghi il doppio e l’angolo α compreso tra loro è lo stesso

Esempio: quanto è alto l’albero

In giardino abbiamo un albero alto e vogliamo sapere quanto misura esattamente. Non abbiamo voglia di arrampicarci con il metro fino alla chioma. Piantiamo quindi nel terreno un’asta verticale alta 2 metri. L’asta proietta un’ombra lunga 1,5 metri e, nello stesso momento, l’albero proietta un’ombra lunga 12 metri.

L’albero e l’asta con le loro ombre, l’altezza dell’albero la indichiamo con h

L’albero, la sua ombra e il raggio di sole formano un triangolo. Il secondo triangolo nasce dall’asta, dalla sua ombra e dal raggio. L’asta e l’albero sono perpendicolari al terreno, perciò entrambi i triangoli hanno un angolo retto alla base. I raggi del sole arrivano nello stesso momento con la stessa inclinazione, quindi in entrambi i triangoli è uguale anche l’angolo all’estremità dell’ombra. Abbiamo due coppie di angoli uguali e, per il criterio AA, i triangoli sono simili.

Il rapporto di similitudine si ricava dalle ombre: l’ombra dell’albero è k volte più lunga di quella dell’asta:

k=12:1,5

Dividiamo:

k=8

L’albero è quindi otto volte più alto dell’asta. L’altezza dell’albero è

h=8⋅2

Moltiplichiamo:

h=16m

L’albero misura 16 metri. Verifichiamo il risultato con il rapporto tra altezza e ombra, che deve essere uguale nei due triangoli. Per l’asta è 2:1,5=43 e per l’albero 16:12=43. Torna.

Attenzione all’area

Viene la tentazione di concludere che, se i lati sono k volte più lunghi, anche l’area sarà k volte più grande. Errore. L’area diventa k2 volte più grande.

Proviamo a immaginare un triangolo con tutti i lati lunghi il doppio. Se congiungiamo i punti medi dei suoi lati, si scompone in quattro triangoli, ciascuno dei quali è una copia esatta di quello iniziale:

Un triangolo con i lati lunghi il doppio si compone di quattro copie del triangolo ABC

Con rapporto di similitudine k = 2 l’area è quindi quattro volte più grande, non due. In generale, l’area del triangolo A'B'C' è

S′=k2⋅S,

dove S è l’area del triangolo iniziale. Con k = 3 l’area è nove volte più grande. Succede come con una foto: se la ingrandisci fino a raddoppiarne larghezza e altezza, serve il quadruplo della carta.

Vedi anche

Capitoli: Triangolo, Altezza di un triangolo, Mediana di un triangolo, Circonferenze nel triangolo, Triangolo rettangolo, Come disegnare un triangolo, Congruenza tra triangoli, Similitudine tra triangoli, Area del triangolo, Teorema di Pitagora