Ομοιότητα τριγώνων

Τα όμοια τρίγωνα έχουν το ίδιο σχήμα, αλλά μπορεί να έχουν διαφορετικό μέγεθος. Το ένα είναι μεγεθυμένο ή σμικρυμένο αντίγραφο του άλλου, όπως όταν μεγεθύνεις μια εικόνα στο φωτοτυπικό. Το αντίγραφο μπορούμε ελεύθερα να το περιστρέψουμε ή να το γυρίσουμε ανάποδα· η ομοιότητα δεν αλλάζει.

Στα όμοια τρίγωνα οι αντίστοιχες γωνίες έχουν το ίδιο μέτρο και οι αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες. Στο σχήμα η πλευρά a' είναι διπλάσια από την a, η b' διπλάσια από τη b και η c' διπλάσια από τη c. Αυτόν τον αριθμό τον λέμε λόγο ομοιότητας και τον συμβολίζουμε με k. Κάθε πλευρά είναι k φορές μεγαλύτερη:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Στο σχήμα είναι k = 2. Αν το k ήταν μικρότερο από ένα, για παράδειγμα $k=\frac{1}{2}$, το δεύτερο τρίγωνο θα ήταν αντίθετα σμικρυμένο. Την ομοιότητα τη γράφουμε ως εξής:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Όπως και στην ισότητα, η σειρά των κορυφών μάς λέει ποιο στοιχείο αντιστοιχεί σε ποιο: η κορυφή A αντιστοιχεί στην A', η B στη B' και η C στη C'. Τα ίσα τρίγωνα είναι στην πραγματικότητα ειδική περίπτωση των όμοιων, με λόγο k = 1: το αντίγραφο δεν είναι ούτε μεγαλύτερο ούτε μικρότερο.

Κριτήρια ομοιότητας

Για να καταλάβουμε αν δύο τρίγωνα είναι όμοια, δεν χρειάζεται να ελέγξουμε όλες τις γωνίες και όλες τις πλευρές. Τα κριτήρια ομοιότητας θυμίζουν τα κριτήρια ισότητας, μόνο που αντί για πλευρές με ίσο μήκος αναζητούμε ίσους λόγους πλευρών.

Κριτήριο Γ-Γ: Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο ζεύγη γωνιών με το ίδιο μέτρο, τότε είναι όμοια. Τη μέτρηση της τρίτης γωνίας μπορούμε να την αποφύγουμε. Οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν πάντα άθροισμα 180°, επομένως και οι τρίτες γωνίες βγαίνουν αναγκαστικά ίσες.

Κριτήριο Π-Π-Π: Αν σε δύο τρίγωνα και οι τρεις λόγοι των αντίστοιχων πλευρών είναι ίσοι, τότε τα τρίγωνα είναι όμοια:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Κριτήριο Π-Γ-Π: Αρκεί δύο ζεύγη αντίστοιχων πλευρών να έχουν τον ίδιο λόγο και οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές οι πλευρές να έχουν το ίδιο μέτρο.

Παράδειγμα: πόσο ψηλό είναι ένα δέντρο

Στον κήπο μας φυτρώνει ένα ψηλό δέντρο και θέλουμε να μάθουμε πόσο ακριβώς μετράει. Δεν μας κάνει καρδιά να σκαρφαλώσουμε ως την κορυφή με μετροταινία. Μπήγουμε λοιπόν στο έδαφος ένα κατακόρυφο κοντάρι ύψους 2 μέτρων. Το κοντάρι ρίχνει σκιά μήκους 1,5 μέτρου και το δέντρο την ίδια στιγμή ρίχνει σκιά μήκους 12 μέτρων.

Το δέντρο, η σκιά του και μια ακτίνα του ήλιου σχηματίζουν ένα τρίγωνο. Ένα δεύτερο τρίγωνο σχηματίζεται από το κοντάρι, τη σκιά του και την ακτίνα. Και το κοντάρι και το δέντρο στέκονται κάθετα στο έδαφος, γι' αυτό και τα δύο τρίγωνα έχουν ορθή γωνία στη βάση. Οι ακτίνες του ήλιου πέφτουν την ίδια στιγμή με την ίδια γωνία, άρα και στα δύο τρίγωνα είναι ίση η γωνία στο άκρο της σκιάς. Έχουμε δύο ζεύγη γωνιών με το ίδιο μέτρο, οπότε σύμφωνα με το κριτήριο Γ-Γ τα τρίγωνα είναι όμοια.

Τον λόγο ομοιότητας τον βρίσκουμε από τις σκιές: η σκιά του δέντρου είναι k φορές μεγαλύτερη από τη σκιά του κονταριού:

$$k=12:1,5$$

Διαιρούμε:

$$k=8$$

Το δέντρο είναι λοιπόν οκτώ φορές ψηλότερο από το κοντάρι. Το ύψος του δέντρου είναι

$$\upsilon =8\cdot 2$$

Πολλαπλασιάζουμε:

$$\upsilon =16\text{m}$$

Το δέντρο μετράει 16 μέτρα. Για να ελέγξουμε το αποτέλεσμα, χρησιμοποιούμε τον λόγο του ύψους προς τη σκιά, που πρέπει να είναι ίδιος και στα δύο τρίγωνα. Για το κοντάρι είναι $2:1,5=\frac{4}{3}$ και για το δέντρο $16:12=\frac{4}{3}$. Βγαίνει σωστό.

Προσοχή στο εμβαδόν

Μας δελεάζει το συμπέρασμα ότι, αφού οι πλευρές είναι k φορές μεγαλύτερες, και το εμβαδόν θα είναι k φορές μεγαλύτερο. Λάθος. Το εμβαδόν μεγαλώνει k² φορές.

Ας φανταστούμε ένα τρίγωνο με όλες τις πλευρές δύο φορές μεγαλύτερες. Αν ενώσουμε τα μέσα των πλευρών του, χωρίζεται σε τέσσερα τρίγωνα και καθένα τους είναι ακριβές αντίγραφο του αρχικού:

Με λόγο ομοιότητας k = 2 το εμβαδόν είναι λοιπόν τέσσερις φορές μεγαλύτερο, όχι δύο. Γενικά για το εμβαδόν του τριγώνου A'B'C' ισχύει

$$E^{\prime }=k^2\cdot E,$$

όπου E είναι το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου. Για k = 3 το εμβαδόν είναι εννέα φορές μεγαλύτερο. Είναι όπως με μια φωτογραφία: αν τη μεγεθύνεις στο διπλάσιο πλάτος και στο διπλάσιο ύψος, θα χρειαστείς τέσσερις φορές περισσότερο χαρτί.

Δες επίσης

• Ισότητα τριγώνων
• Λόγοι
• Μέθοδος των τριών