Подобие на триъгълници

Подобните триъгълници имат една и съща форма, но може да са с различна големина. Единият е уголемено или смалено копие на другия, както когато увеличиш изображение на копирна машина. Копието спокойно можем да завъртим или обърнем – за подобието това няма значение.

При подобните триъгълници съответните ъгли са равни, а съответните страни са в еднакво отношение. На фигурата страната a' е два пъти по-дълга от страната a, страната b' е два пъти по-дълга от b, а c' – два пъти по-дълга от c. Това число наричаме коефициент на подобие и го означаваме с k. Всяка страна е k пъти по-дълга:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

На фигурата k = 2. Ако k беше по-малко от едно, например $k=\frac{1}{2}$, вторият триъгълник щеше да е смален. Подобието записваме така:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Както при еднаквостта, редът на върховете показва кое на кое съответства: върхът A съответства на върха A', B на B', а C на C'. Еднаквите триъгълници са всъщност частен случай на подобните, с коефициент k = 1: копието не е нито по-голямо, нито по-малко.

Признаци за подобие

Дали два триъгълника са подобни, можем да разберем и без да проверяваме всички ъгли и всички страни. Признаците за подобие приличат на признаците за еднаквост, само че вместо равни по дължина страни търсим равни отношения на страните.

Признак ЪЪ: Ако два триъгълника имат две двойки равни ъгли, те са подобни. Можем да си спестим измерването на третия ъгъл. Сборът на ъглите в триъгълника е винаги 180°, така че и третите ъгли непременно са равни.

Признак ССС: Ако при два триъгълника съвпадат и трите отношения на съответните страни, те са подобни:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Признак СЪС: Достатъчно е две съответни страни да са в еднакво отношение, а ъгълът между тях да е равен.

Пример: колко е високо дървото

В градината ни расте високо дърво и искаме да знаем колко точно е високо. Не ни се иска да се катерим с ролетка до върха. Затова забиваме в земята вертикална пръчка, висока 2 метра. Пръчката хвърля сянка, дълга 1,5 метра, а дървото в същия момент хвърля сянка, дълга 12 метра.

Дървото, сянката му и слънчевият лъч образуват триъгълник. Втори триъгълник се получава от пръчката, сянката ѝ и лъча. И пръчката, и дървото стоят перпендикулярно на земята, затова двата триъгълника имат прав ъгъл при основата. Слънчевите лъчи падат в един и същ момент под един и същ ъгъл, затова и ъгълът в края на сянката е един и същ в двата триъгълника. Имаме две двойки равни ъгли и по признака ЪЪ триъгълниците са подобни.

Коефициента на подобие отчитаме от сенките: сянката на дървото е k пъти по-дълга от сянката на пръчката:

$$k=12:1,5$$

Разделяме:

$$k=8$$

Дървото е осем пъти по-високо от пръчката. Височината на дървото е

$$h=8\cdot 2$$

Умножаваме:

$$h=16\text{m}$$

Дървото е високо 16 метра. Проверяваме резултата чрез отношението на височината към сянката, което трябва да е еднакво при двата триъгълника. При пръчката $2:1,5=\frac{4}{3}$, а при дървото $16:12=\frac{4}{3}$. Съвпада.

Внимавай с лицето

Примамливо е да заключим, че щом страните са k пъти по-дълги, и лицето ще е k пъти по-голямо. Грешно. Лицето расте k² пъти.

Нека си представим триъгълник с всички страни два пъти по-дълги. Ако свържем средите на страните му, той се разпада на четири триъгълника и всеки от тях е точно копие на първоначалния:

При коефициент на подобие k = 2 лицето е четири пъти по-голямо, а не два. Общо казано, лицето на триъгълника A'B'C' е

$$S^{\prime }=k^2\cdot S,$$

където S е лицето на първоначалния триъгълник. При k = 3 лицето е девет пъти по-голямо. Както при снимката: ако я увеличиш до двойна ширина и височина, ще ти трябва четири пъти повече хартия.

Виж също

• Еднаквост на триъгълници
• Отношения
• Тройно правило