Likformiga trianglar

Likformiga trianglar har samma form men kan ha olika storlek. Den ena är en förstorad eller förminskad kopia av den andra, som när du förstorar en bild på en kopiator. Kopian kan vi gärna vrida eller vända, det påverkar inte likformigheten.

I likformiga trianglar är motsvarande vinklar lika stora och motsvarande sidor står i samma förhållande. På figuren är sidan a' dubbelt så lång som sidan a, sidan b' dubbelt så lång som b och c' dubbelt så lång som c. Det talet kallar vi likformighetsförhållande och betecknar det med k. Varje sida är k gånger så lång:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

På figuren är k = 2. Om k vore mindre än ett, till exempel $k=\frac{1}{2}$, skulle den andra triangeln i stället vara förminskad. Likformighet skriver vi så här:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Liksom för kongruens avslöjar ordningen på hörnen vad som motsvarar vad: hörn A motsvarar hörn A', B motsvarar B' och C motsvarar C'. Kongruenta trianglar är egentligen ett specialfall av likformiga trianglar, med förhållandet k = 1: kopian är varken större eller mindre.

Likformighetssatser

Om två trianglar är likformiga kan vi avgöra utan att kontrollera alla vinklar och alla sidor. Likformighetssatserna liknar kongruenssatserna, men i stället för lika långa sidor letar vi efter lika förhållanden mellan sidorna.

Satsen vv: Om två trianglar har två par lika stora vinklar är de likformiga. Vi kan spara oss att mäta den tredje vinkeln. Vinklarna i en triangel ger tillsammans alltid 180°, så även de tredje vinklarna blir nödvändigtvis lika stora.

Satsen sss: Om förhållandena mellan alla tre par motsvarande sidor är lika i två trianglar är de likformiga:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Satsen svs: Det räcker att två motsvarande sidor har samma förhållande och att vinkeln mellan dessa sidor är lika stor.

Exempel: hur högt är trädet

I trädgården växer ett högt träd och vi undrar hur högt det är exakt. Vi har ingen lust att klättra upp i kronan med ett måttband. Därför sticker vi ner en lodrät stång som är 2 meter hög. Stången kastar en skugga som är 1,5 meter lång och trädet kastar samtidigt en skugga som är 12 meter lång.

Trädet, dess skugga och en solstråle bildar en triangel. Den andra triangeln bildas av stången, dess skugga och en solstråle. Både stången och trädet står vinkelrätt mot marken, så båda trianglarna har en rät vinkel vid foten. Solstrålarna faller vid samma tidpunkt in under samma vinkel, därför är också vinkeln i skuggans ände densamma i båda trianglarna. Vi har två par lika stora vinklar, och enligt satsen vv är trianglarna alltså likformiga.

Likformighetsförhållandet läser vi av skuggorna: trädets skugga är k gånger så lång som stångens skugga:

$$k=12:1,5$$

Vi dividerar:

$$k=8$$

Trädet är alltså åtta gånger så högt som stången. Trädets höjd är

$$h=8\cdot 2$$

Vi multiplicerar:

$$h=16\text{m}$$

Trädet är 16 meter högt. Vi kontrollerar att det stämmer med förhållandet mellan höjd och skugga, som måste vara detsamma i båda trianglarna. För stången är $2:1,5=\frac{4}{3}$ och för trädet $16:12=\frac{4}{3}$. Det stämmer.

Se upp med arean

Det är frestande att dra slutsatsen att om sidorna är k gånger längre så blir också arean k gånger större. Fel. Arean blir k² gånger så stor.

Tänk dig en triangel där alla sidor är dubbelt så långa. Om vi förbinder mittpunkterna på dess sidor delas den upp i fyra trianglar och var och en av dem är en exakt kopia av den ursprungliga:

Vid likformighetsförhållandet k = 2 blir arean alltså fyra gånger större, inte två gånger. Allmänt gäller att arean av triangeln A'B'C' är

$$A_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=k^2\cdot A_{ABC},$$

där A_ABC är arean av den ursprungliga triangeln. Vid k = 3 är arean nio gånger så stor. Det är som med ett foto: om du förstorar det till dubbel bredd och höjd går det åt fyra gånger så mycket papper.

Se även

• Kongruenta trianglar
• Förhållanden
• Proportionalitet