Matriz de mudança de base

Se temos um espaço vetorial V e duas bases suas, podemos expressar um vetor do espaço como combinação de vetores das duas bases. A matriz de mudança de base nos ajuda, então, a converter uma expressão na outra.

Motivação

Considere um espaço vetorial V de dimensão n e duas bases diferentes suas, E = {e₁, …, e_n} e F = {f₁, …, f_n}. Escolhemos ainda algum vetor x de V. Como x é do espaço V e como E e F são bases desse espaço, deve valer que existem coeficientes a₁, …, a_n tais que:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

e, ao mesmo tempo, devem existir coeficientes b₁, …, b_n tais que:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

No primeiro caso, expressamos o vetor x por meio da base E e, no segundo caso, por meio da base F. Usamos duas bases diferentes para expressar x e obtemos, assim, dois conjuntos diferentes de coeficientes, a_i e b_i. Surge a pergunta: se conhecemos os coeficientes b_i, existe algum modo de obter, a partir desses coeficientes, os coeficientes a_i, isto é, a expressão em relação à primeira base?

Sim, para isso serve a chamada matriz de mudança de base.

Como obter a matriz de mudança de base

Continuamos com o espaço V e as duas bases E = {e₁, …, e_n} e F = {f₁, …, f_n}. Como E é uma base do espaço V, certamente todos os vetores f₁, …, f_n poderão ser expressos como combinações lineares de vetores da base E. Os vetores f₁, …, f_n são, é verdade, parte da base F, mas, ao mesmo tempo, são elementos comuns do espaço V, então deve valer:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

Nós agora reescrevemos essas equações em uma matriz de modo que na primeira coluna da matriz estejam os coeficientes do vetor $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$, isto é, a_i1, na segunda os coeficientes do vetor $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, isto é, a_i2, e assim por diante. Obtemos a matriz:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Essa matriz é chamada de matriz de mudança de base de E para F. Se temos um vetor x = (x₁,…, x_n) de V que tem, em relação à base F, os coeficientes b₁, …, b_n, então obtemos os coeficientes a₁, …, a_n em relação à base E por

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Exemplo

Vamos trabalhar no espaço vetorial ℝ³. Escolhemos como uma das bases a base canônica E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e a outra base F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. A matriz de mudança de base da base E para a base F terá a forma

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Agora escolhemos um vetor qualquer x ∈ ℝ³, por exemplo, x = (12, 41, 28). Ele tem, em relação à base F, os coeficientes b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. Fazemos, então, o produto de matrizes:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Em relação à base E, o vetor x tem os coeficientes a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Ou seja, vale:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$