Subespaço vetorial

Um subespaço vetorial é um subconjunto de algum espaço vetorial que continua fechado para a adição e a multiplicação por escalar.

Definição

Considere um espaço vetorial V. Um subespaço vetorial W seria, então, um subconjunto do espaço V tal que o conjunto W também seja um espaço vetorial. Um subconjunto não vazio W ⊆ V deve, portanto, cumprir estas duas condições para ser um subespaço vetorial do espaço V: para todos x, y ∈ W e para todo a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

Precisamos, portanto, escolher de V um subconjunto tal que esses vetores sejam fechados para a adição e a multiplicação.

Subespaço do espaço R³

Vamos tomar o espaço ℝ³ e encontrar algum subespaço.

1. Que tal, por exemplo, todas as ternas da forma (a, a, a), em que a ∈ ℝ? Isto é, ternas como $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ ou (−π, −π, −π). Esse subespaço, que vamos chamar de W₁, seria um subconjunto do espaço ℝ³, isto é, W₁ ⊆ ℝ³, porque ℝ³ contém, simplesmente, todas as ternas.

Esse espaço seria fechado para a operação de adição de vetores, porque

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Depois de somar dois vetores, obteríamos um novo vetor que teria novamente três componentes iguais, e um vetor assim está contido no conjunto W₁. O conjunto W₁ cumpre, portanto, a primeira condição de subespaço vetorial. Mas cumpre a segunda condição?

Sim, cumpre, porque o produto por k novamente altera as três componentes do vetor, mas as altera exatamente do mesmo modo:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

Novamente obtemos um vetor que tem as três componentes iguais, e um vetor assim está no conjunto W₁. O conjunto W₁ é, portanto, um subespaço vetorial de ℝ³.

• Podemos tentar tomar todas as ternas (a, b, c) tais que a, b, c ∈ [−1, 1]. Vamos chamar esse conjunto de W₂, e os elementos são, por exemplo, as ternas $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ ou $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Os elementos de W₂ são fechados para a adição? Certamente não são, porque $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ é igual à terna $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, que não pertence a W₂. O conjunto W₂ não forma, portanto, um subespaço do espaço ℝ³; o conjunto W₂ nem sequer forma um espaço.

• Agora tomamos todas as ternas da forma (a, 0, b), em que a, b ∈ ℝ. São todas as ternas que têm a segunda componente nula. Vamos chamar esse conjunto de W₃. Esse conjunto é fechado para a adição? Sim, é, porque

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

O resultado é a terna (a + c, 0, b + d), que tem a segunda componente nula e, nas outras duas, números reais. Essa terna certamente está em W₃. W₃ é fechado para a multiplicação? Sim, é, porque

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

Novamente obtemos a terna (k · a, 0, k · b), que tem sempre a segunda componente nula e as outras componentes são números reais. Uma terna assim é elemento de W₃. O conjunto W₃ forma, portanto, um subespaço do espaço ℝ³. Repare que, se as ternas tivessem a forma (a, b, 0) ou (a, 0, 0), elas também formariam um subespaço vetorial.

Subespaço de polinômios

No artigo anterior, mostramos o espaço vetorial formado por polinômios. Para relembrar: um polinômio é uma expressão da forma

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

Supomos que a_n ≠ 0. O grau desse polinômio é, então, exatamente o número n. Os números reais a₀, …, a_n são chamados de coeficientes do polinômio. Um exemplo de polinômio é a expressão 4 + 3x − 7x². Vamos tentar encontrar algum subespaço vetorial. Considere, então, o espaço vetorial P(x) de todos os polinômios.

1. Primeiro tentamos o conjunto de todos os polinômios de grau n, em que n ≥ 0; vamos chamar esse conjunto de W₁. No artigo anterior, já dissemos que esse conjunto não é sequer um espaço vetorial, então dificilmente será um subespaço vetorial do espaço P(x). Repetindo: se, por exemplo, multiplicarmos um polinômio de W₁ por zero, obtemos o polinômio p(x) = 0, que, por definição (convenção), tem grau −1. Esse elemento, portanto, certamente não está em nenhum W₁.

2. Vamos tentar tomar como W₂ todos os polinômios de grau n ou menor. Assim, para n = 2, estarão em W₂ todos os polinômios de grau 2, 1, 0, −1. Esse conjunto é fechado para a adição? Sim, é, porque a soma de dois polinômios de grau n nunca terá grau maior que n, só pode ter grau menor. Do mesmo modo, esse conjunto é fechado para a multiplicação, porque qualquer produto do polinômio p(x) por k pode ter como resultado um polinômio do mesmo grau ou o polinômio nulo. As duas possibilidades são cobertas pelo conjunto W₂, então W₂ forma um subespaço do espaço P(X).

Propriedades básicas dos subespaços

Considere um espaço vetorial V e dois subespaços seus, W₁ e W₂. Então vale que

1. A interseção W₁ ∩ W₂ é um subespaço vetorial de V.

   Considere o espaço vetorial ℝ³ e os subespaços W₁ e W₂ tais que W₁ é formado pelas ternas da forma (a, b, 0) e W₂ pelas ternas da forma (a, 0, b), em que a, b ∈ ℝ. A interseção W₁ ∩ W₂ será, portanto, o conjunto que contém as ternas da forma (a, 0, 0) — um conjunto assim é, claramente, um subespaço do espaço ℝ³.

   Isso, porém, naturalmente não é uma demonstração. Ela seria assim: tomamos um espaço vetorial qualquer V e dois subespaços seus W₁ e W₂. Queremos agora demonstrar que, para todos x, y ∈ W₁ ∩ W₂, vale x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Como os vetores x e y estão contidos na interseção W₁ ∩ W₂, certamente deve valer que x, y ∈ W₁ e, ao mesmo tempo, x, y ∈ W₂ (isso vale pela definição de interseção de conjuntos). Como W₁ e W₂ são também espaços vetoriais, deve valer também que x + y ∈ W₁ e, ao mesmo tempo, deve valer x + y ∈ W₂ (isso vale pela definição de espaços vetoriais). Agora temos que x + y ∈ W₁ e, ao mesmo tempo, x + y ∈ W₂, do que decorre que x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (novamente com base na definição de interseção de conjuntos — se um elemento está no conjunto W₁ e também está no conjunto W₂, deve estar também na interseção deles).

   Além disso, precisamos verificar o fechamento da multiplicação. Precisamos demonstrar que, para todos k ∈ ℝ e x ∈ W₁ ∩ W₂, vale k · x ∈ W₁ ∩ W₂. O procedimento será o mesmo. Como x ∈ W₁ ∩ W₂, então, ao mesmo tempo, x ∈ W₁ e x ∈ W₂. Como W₁ e W₂ são espaços, então k · x ∈ W₁ e, ao mesmo tempo, k · x ∈ W₂ e, portanto, k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. A união W₁ ∪ W₂ não precisa necessariamente ser um subespaço de V.

   Para demonstrar a segunda propriedade, basta encontrar um contraexemplo adequado. Podemos nos virar com os espaços anteriores W₁ e W₂, que têm ternas da forma (a, b, 0) e (a, 0, b), respectivamente. Se fizermos a união deles, obtemos todas as ternas que devem ter zero na segunda ou na terceira posição. Assim, os vetores (1, 0, 1) e (1, 1, 0) certamente estão na união W₁ ∪ W₂. Mas a soma deles é igual ao vetor (2, 1, 1), que é um vetor sem zero em lugar nenhum. Esse vetor não está nem em W₁ nem em W₂, então não pode estar nem em W₁ ∪ W₂. Encontramos, assim, dois vetores cuja soma não pertence ao mesmo conjunto, portanto não pode se tratar de um espaço vetorial.