Propriedade associativa

A associatividade é uma propriedade de operações como, por exemplo, a adição ou a multiplicação. Observe estas duas maneiras de escrever uma adição:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

As expressões diferem apenas em onde está o parêntese. Mas os resultados diferem? As duas expressões levam ao mesmo resultado, a soma é sempre igual a 6. Se a posição dos parênteses não influencia o resultado, dizemos que a operação é associativa. Mais precisamente, podemos escrever que uma operação a ∘ b é associativa se vale

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Outra operação associativa é a multiplicação, porque vale

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Operações que não são associativas

A subtração não é associativa. Como exemplo, podemos tomar a expressão (10 − 4) − 3. Primeiro calculamos a diferença no parêntese e obtemos 6 − 3, que é igual a 3. Mas, se tentarmos calcular 10 − (4 − 3), novamente calculamos primeiro o conteúdo do parêntese e obtemos 10 − 1, que é 9. A operação de subtração não é, portanto, associativa.

Do mesmo modo, a divisão não é associativa. Como exemplo, tomemos a expressão (64 / 4) / 2. Primeiro calculamos o parêntese e obtemos 16/2, que é 8. Mas, se colocarmos o parêntese em outro lugar, obtemos 64 / (4 / 2), e depois de calcular o parêntese temos 64 / 2, que é 32. A operação de divisão não é, portanto, associativa.

Outra operação típica que não é associativa é a potência:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

A associatividade diz respeito a uma única operação!

Cuidado: a associatividade sempre diz respeito a uma única operação. Se tivéssemos uma expressão com três números, mas sem a mesma operação, não poderíamos usar a regra associativa. Como exemplo:

$$(1+2)\cdot 3$$

a expressão contém duas operações — adição e multiplicação. As duas operações são, cada uma por si, associativas, mas mesmo assim, neste momento, não podemos usar a regra associativa, não podemos transformá-la em

$$1+(2\cdot 3)$$

porque a expressão contém duas operações diferentes. Para podermos usar a regra associativa, as duas operações teriam de ser adições ou as duas teriam de ser multiplicações.

Interseção e união

A interseção de conjuntos é associativa. Como exemplo:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

primeiro transformaríamos, calculando a interseção dos conjuntos no parêntese, em

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

E a interseção desses conjuntos é igual a {1}. Se trocássemos os parênteses de lugar, obteríamos

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

e, depois de transformar o parêntese:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

E novamente obteríamos {1}. Vemos que a posição dos parênteses não importa e, por isso, a interseção de conjuntos é associativa. Do mesmo modo, seria associativa a união de conjuntos.

Composição de palavras / concatenação

Imagine que tivéssemos uma operação de adição para partes de palavras e que ela significasse simplesmente a junção das palavras. Ou seja, “com” + “putador” seria igual à palavra “computador”. Uma operação assim seria associativa. Como exemplo, se escrevêssemos (“ca” + “der”) + “no”, primeiro, somando o parêntese, obteríamos “cader” + “no”, o que nos daria a palavra “caderno”. Se trocássemos os parênteses, “ca” + (“der” + “no”), obteríamos, depois de somar no parêntese, “ca” + “derno”, o que novamente nos daria a palavra “caderno”.

O máximo ou o mínimo é associativo

Imagine uma operação a ∨ b que nos devolve o maior de dois números. Uma operação assim seria associativa. Como exemplo, (5 ∨ 10) ∨ 7 seria transformada em 10 ∨ 7, que seria igual a 10. O dez é o maior desses três números. Se reorganizássemos os parênteses, obteríamos 5 ∨ (10 ∨ 7), depois da transformação 5 ∨ 10, que novamente é 10.

O mínimo se comportaria exatamente do mesmo modo.