Triângulo retângulo

O triângulo retângulo tem um ângulo interno reto, isto é, de 90 graus. Esse triângulo tem várias propriedades interessantes, de que trataremos neste artigo.

Descrição básica

O triângulo retângulo já foi parcialmente descrito no artigo principal sobre triângulos. O triângulo retângulo tem um ângulo interno de 90 graus. Os dois ângulos internos restantes têm necessariamente medida menor que 90 graus, porque, do contrário, a soma dos ângulos internos não seria igual a 180 graus. Vale, inclusive, que a soma dos dois ângulos restantes é exatamente 90 graus.

O triângulo retângulo tem, é claro, três lados; dois deles se chamam catetos (lados vermelhos), que são os lados menores, e o terceiro lado chama-se hipotenusa (lado azul) — que é o lado mais longo. A hipotenusa fica sempre em frente ao ponto onde está o ângulo reto.

Teorema de Pitágoras

Talvez o teorema mais famoso da matemática, o teorema de Pitágoras, vale justamente no triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras trata das medidas dos lados do triângulo. O teorema diz que “A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os seus catetos”. Escrito matematicamente para o nosso triângulo, em que a hipotenusa é o lado a:

$$a^2=b^2+c^2$$

O teorema de Pitágoras em figura, desta vez na notação usual, com a hipotenusa c: O teorema é tratado em um artigo separado.

Área do triângulo retângulo

No triângulo retângulo é muito simples calcular a área, porque as alturas coincidem com os catetos. Imagine o triângulo retângulo da primeira figura. Como calcularíamos sua área sem conhecer nenhuma altura? Podemos completar o triângulo de modo a formar um retângulo. Os lados do retângulo serão formados pelos catetos do triângulo, e completamos os dois lados restantes de modo que realmente surja um retângulo: A área do retângulo já sabemos calcular: é o produto dos comprimentos de dois lados adjacentes, no nosso caso o produto dos lados vermelhos AC e AB. Assim obtemos a área do retângulo. No entanto, a hipotenusa BC forma a diagonal do retângulo, que divide o retângulo ao meio; então, se dividirmos a área do retângulo por dois, obtemos a área do triângulo retângulo. A fórmula ficaria assim:

$$A_{\mathrm{△}}=\frac{b\cdot c}{2},$$

em que b e c são os comprimentos dos catetos.

Funções trigonométricas seno e cosseno

No triângulo retângulo valem as funções trigonométricas básicas e suas relações. As funções trigonométricas, como seno, cosseno, tangente e cotangente, expressam a razão entre os comprimentos dos lados do triângulo retângulo. Vamos usar mais uma vez o primeiro triângulo, desta vez com os ângulos destacados.

Se queremos descobrir a razão entre os comprimentos de dois lados, pegamos os dois comprimentos e os dividimos na ordem indicada. Por exemplo, a razão entre os comprimentos dos lados b:c (lemos “b para c”) é obtida dividindo 3/5 (o lado b tem comprimento 3 e o lado c, 5).

A função seno trabalha com a razão entre dois lados e um ângulo. Em relação à nossa figura, vale: se pegamos a razão entre os lados b:a, obtemos o valor da função seno aplicada ao ângulo β. O cosseno funciona de modo parecido, só que para a razão c:a e o mesmo ângulo β. Vale, portanto:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{b}{a}\\ \cos (\beta )& =& \frac{c}{a}\end{array}$$

As funções seno e cosseno trabalham sempre apenas com os ângulos do triângulo retângulo que são menores que 90 graus. Neste caso, com os ângulos β e γ. Nesse intervalo, as funções seno e cosseno sempre nos devolvem um número do intervalo ]0, 1[, e, graças a isso, você pode memorizar a regra de que sempre divide o lado menor pelo lado maior — para obter justamente um número do intervalo ]0, 1[.

Ambas as funções trabalham ao mesmo tempo com um cateto e a hipotenusa; nunca se trata de dois catetos simultaneamente. Como você divide sempre o menor pelo maior, a hipotenusa ficará sempre no denominador da fração. Se você olhar para as fórmulas acima deste parágrafo, no denominador está sempre a, que é a hipotenusa do triângulo.

A última regra é que o seno trabalha com o cateto oposto, enquanto o cosseno trabalha com o cateto adjacente. O que isso significa? Se temos o ângulo β, então o cateto adjacente é aquele cateto que parte do ponto B, o cateto c. O oposto é o outro cateto, o cateto b. Por isso, na fórmula do seno está o lado b e na do cosseno, o lado c.

Resumo: o seno devolve a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, o cosseno a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Como podemos aproveitar isso? Se conhecemos os ângulos do triângulo e o comprimento da hipotenusa ou de um cateto, podemos calcular os comprimentos dos lados restantes. Exemplo:

No triângulo anterior vale:

$$|AC|=b=3,|AB|=c=5,\beta =30,{96}^{\circ }$$

Qual é o comprimento do lado a? Sabemos que vale:

$$\mathrm{sen}(\beta )=\frac{b}{a}$$

Conhecemos o valor do seno e também o comprimento do lado b; procuramos o comprimento do lado a. Isolamos a com o auxílio de transformações equivalentes:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(\beta )& =& \frac{b}{a}\\ a\cdot \mathrm{sen}(\beta )& =& b\\ a& =& \frac{b}{\mathrm{sen}(\beta )}\end{array}$$

(Primeiro multiplicamos a equação por a e depois dividimos a equação pelo seno.) No segundo membro já temos só valores conhecidos, então substituímos. Calculamos o valor do seno na calculadora.

$$a=\frac{b}{\mathrm{sen}(\beta )}=\frac{3}{\mathrm{0,514}}=5,83.$$

O lado a tem comprimento 5,83. Se você for calcular o seno na calculadora, tome cuidado para estar com o modo de graus ligado. Muitas vezes o problema é justamente que você calcula com radianos, que são outra medida de ângulo. No entanto, vale a relação de conversão:

$$rad=\frac{\pi }{180}\cdot graus,$$

em que graus é o seu valor em graus.

Funções trigonométricas tangente e cotangente

No triângulo retângulo também podemos usar com facilidade estas duas funções. De novo vale que sempre trabalhamos com ângulos menores que 90 graus. Ao contrário do seno e do cosseno, porém, essas funções não trabalham com a hipotenusa do triângulo, mas apenas com os catetos. Vale, portanto, que a tangente de um ângulo é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, e a cotangente, à razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.

Em relação ao triângulo anterior, vale:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ \mathrm{cotg}(\beta )& =& \frac{c}{b}\end{array}$$

Vamos tentar calcular no triângulo anterior o comprimento do lado AC (lado b), com o auxílio do ângulo β. Já conhecemos sua medida do exemplo anterior. Sabemos que vale:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{b}{c}$$

Isolamos o lado b:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{tg}(\beta )& =& \frac{b}{c}\\ c\cdot \mathrm{tg}(\beta )& =& b\\ b& =& c\cdot \mathrm{tg}(\beta )\end{array}$$

(Apenas multiplicamos a equação por c e trocamos os membros.) Agora já conhecemos tudo o que é necessário para calcular o comprimento do lado b. Substituímos:

$$b=c\cdot \mathrm{tg}(\beta )=5\cdot \mathrm{tg}(30,96)=5\cdot 0,6=3$$

Já pela figura vemos que obtivemos a solução correta. Só de novo atenção: na fórmula, na tangente, está o valor em graus, enquanto a calculadora pode exigir o ângulo em radianos.

Para ilustrar, podemos calcular o mesmo lado com o auxílio da cotangente:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{cotg}(\beta )& =& \frac{c}{b}\\ b\cdot \mathrm{cotg}(\beta )& =& c\\ b& =& \frac{c}{\mathrm{cotg}(\beta )}\end{array}$$

Substituímos os valores:

$$b=\frac{5}{\mathrm{cotg}(30,96)}=\frac{5}{\mathrm{1,666}\dots }=3$$

De novo obtivemos o resultado correto.